115年 - 115 臺北市立內湖高級工業職業學校_正式教師甄試：數學科#139221

科目：教甄◆數學 | 年份：115年 | 選擇題數：0 | 申論題數：17

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (0)

申論題 (17)

【一、填充題（每題 5 分，共 50 分）】
1. 方程式|||||x2 − 2x − 3| − 4| − 5| − 6| − 7| = x2 + x − 89的所有實根為__________。
2. 多項式x1234除以x2 − x + 1的餘式為__________。
3. 設?為銳角，則 (2√2/3)?an3? + 8c??2? 的最小值為__________。
4. 平行四邊形ABC?中，AB = √23，BC = √37，若兩對角線的其中一個交角為60°，則ABC?的面積為__________。
5. 小明班上有n位同學，座號分別為1,2,3, … , n。講桌上的籤筒中原有全班同學的座號籤各一支，頑皮的小明偷偷把自己的籤拿掉。已知剩下n − 1支籤的編號平均數為91/4，若小明的座號為x，則數對(n, x)為__________。
6. 將正整數n表示成一個以上的正整數之和，稱為「分拆」；接著計算分拆後各正整數的乘積，稱為「分拆乘積」。舉例來說，(1 + 1 + 3)、(1 + 4)、(1 + 2 + 2)分別是n = 5的其中三種分拆方式，它們的分拆乘積分別為3、4、4。求n = 2026的所有分拆方式中，其分拆乘積的最大值為__________。
7. 設實數 a, b, c, d 滿足 a2 + b2 = 2，且 (c + 2)2 + (d + 1)2 = 3，則 (ad − bc)2 的最大值為__________。
8. 箱中有n顆球，編號1到n，每球被抽到的機率均等。假設從中同時抽出兩球，兩球編號差的期望值為?1；而從中抽出一球後放回，再抽一球，兩次抽球編號差的期望值為?2，則lim(n→∞)(?1 − ?2)之值為__________。
9. 平行四邊形ABC?中，已知AB = 6，且△ABC的外接圓半徑為4，則對角線B?的長度之最大值為__________。
10. 設拋物線y = x2的焦點為?，在拋物線上取一點P1，過P1作鉛直線交x軸於點?1，連??1交拋物線於點P2，過P2作鉛直線交x軸於點?2，連??2交拋物線於點P3，依此類推可得到一系列的點P1, P2, P3, … , Pn與?1, ?2, ?3, … , ?n。求 lim(n→∞) ?nPn+1 / Pn+1?n+1 之值為__________。
二、計算證明題
1. 考慮以下問題：「從5男4女之中任選5人，求至少含有2男1女的方法數。」某位學生的做法是「先任選2男，再任選1女，再從剩下6人中任選2人，因此所求為C(2,5) × C(1,4) × C(2,6)。」但他發現答案是錯的，請指出錯誤之處，並示範兩種不同方法求出正確答案。
2. 正弦定理與餘弦定理具有等價關係，設△ABC中，AB = c、BC = a、CA = b，請從下列兩式中擇一證明：
(1) 已知 a/?inA = b/?inB = c/?inC，證明a2 = b2 + c2 − 2bc??A。
(2) 已知a2 = b2 + c2 − 2bc??A，證明 a/?inA = b/?inB = c/?inC。
3. 在1到2026的正整數中選出n個數，使得這n個數當中，任意兩數的積或和都無法被它們的差整除，求n的最大值。
4. 設a, b, c為實數，且函數f(x) = x3 + ax2 + bx + c在−1 ≤ x ≤ 1的範圍內之最大值為?、最小值為m，求? − m的最小值。
5. 對所有正整數n，定義數列?n為「將所有滿足0 ≤ x ≤ 1且分母不大於n的最簡分數x，由小到大依序排列」，並將其中的0記為0/1，將1記為1/1。舉例來說，?1 = {0/1, 1/1}，?2 = {0/1, 1/2, 1/1}，?4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}。此外規定|?n|代表?n的項數，因此|?1| = 2、|?2| = 3、|?4| = 7。請回答下列問題：
(1) 求數列?100之中，緊鄰在23/80後的下一項。
(2) 證明或否證：對於所有正整數n，|?n|恆為質數。