王靈隱>试卷(2015/05/05)

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104 年 - 附中#21023 

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【非選題】
1.1. 化簡  。
【非選題】
2.2. 將一個二位數碼 (00 ~ 99) 平方後,取百位與十位數字形成一個新的二位數碼,稱為操作一次;例如 04 ➝01  、11 ➝12  、50➝ 50 ,對於得到的新數碼可以繼續操作,例如 11➝ 12 ➝14 ➝19 ....。現在取 一開始的數碼為 79 ,那麼連續操作 2015 次之後所得到的數碼為 _________。
【非選題】
3.3. 令 ,若 n 為小於 100 的正整數,且使得  zωn 為一個實數,求所有這樣的 n 的 總和為 ________。
【非選題】
4.4. 一個五位數,若他的五個數字滿足(1) 萬位數、千位數、百位數為嚴格遞增;以及(2) 百位數、十位 數、個位數為嚴格遞減,則稱此五位數為『山形數』,例如 12321、24830。問五位數中,總共有多少 個『山形數』? 。
【非選題】
5.5. 設 x 為整數,且 11 ≤ x ≤99  ,若 1 / x 的常用對數的尾數比  x2 的常用對數的尾數大,則滿足條件的 x 共有 個__________。
【非選題】
6.6. 線性函數 f (x) =ax+ b  ,其中 a 與 b 均為整數,且滿足 6 ≤f(3) ≤10 , 12 ≤ f(8)≤ 20  ,則 f (9) 的最大值為 。_________

【非選題】
7.7. 如圖所示 甲與乙中間有八個格子,進行時,甲只能向右 1 或 2 或 3 格;乙只能向左 1 或 2 或 3 格。甲乙輪流行 動,甲先動,若兩人停在同一格,則遊戲提前結束。問提前結束的情況有________ 種。
【非選題】
8.8. =_______________
【非選題】
9.9. 求 =__________ 。
【非選題】
10.10. 某別墅有一個正方形的窗戶,窗外路燈的光線(假設路燈是一個點光源)透過窗戶在地板上形成一個四 邊形的光影。現在以地板為 xy 平面,建立一個空間直角座標系(已知窗戶所在的牆壁面與地板垂直, 而且窗戶的邊框分別與地板平行或是垂直),發現窗戶光影外框的四個頂點座標分別是 (6,10,0),(8,14,0),( -4,23,0),(-2,16,0)  ,則路燈點光源的座標是 ___________。
【非選題】
11.11. 有六張牌,其正面分別是紅、黃、藍三種顏色,每種顏色各兩張;而背面是完全相同的圖案。現在將 所有牌張隨機依序放好,背面朝上,進行翻牌配對遊戲,規則如下: 一次翻開兩張,但是一張一張翻開; 若第二張與第一張顏色相同,則兩張都取走;若不同,則蓋回背面放在原來的位置; 繼續進行到所有牌都拿完,稱為一局結束。 現在假定翻過而沒有拿走的牌張,能夠完全記住位置,並且接下來會去選擇未翻過的牌張;當再翻到 此種顏色時,會先去把此種顏色翻開而取走。 問一局結束所需要的翻牌張數的期望值為 ________張。
【非選題】
12.12. 在會議室圓桌上有 8 個座位,順時針依序放有 1, 2, 3,…, 8,共 8 張名牌。我們將參與這場會議的人也 編號,依序為 1, 2, 3,…, 8,其中 1 一定會先抵達並坐編號 3 的位置,其他人則依亂序到來,先找到自 己的座位,如果位置是空的就坐下,如果被占了就往順時針方向的下一個空位坐下。等到一個人坐定 後,另一個人再進入會議室。最後共有__________ 種不同的坐法。
【非選題】
13.
在 ΔABC 中, , 

【題組】1. 證明: 

【非選題】
14.【題組】
【非選題】
15.
在 xy 平面上,直線 L 的方程式為,二階方陣 A 所對應的線性 變換 P' =AP  ,是將點 P到 L 的垂直距離縮小一半得到 P' 點,如圖所 示,Q 是 P 在 L 上的投影點, P' 就是的中點。

【題組】2.  (1) 求 A

【非選題】
16.【題組】(2) 若 在經過 A 的變換後變成  ,求  的方程式。(每小題 5 分)
【非選題】
17.3. 若 a1,a2 ,a3 ...... an 為 n 個相異實數,試證: 
【非選題】
18.4. 一個正二十面體的中心為 O,相鄰兩個頂點 A 與 B,令 ∠ AOB =α ;再令正十二面體相鄰兩面的兩面 角為 β ,求 α+β 。