賴韋秀>试卷(2014/10/30)

工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)題庫 下載題庫

103 年 - 103年高等三級暨普通考高考三級_電力工程#17766 

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1.1. 定義曲線 C 為 x = t, y = t 及 z = t2 ,其中0 ≤ t ≤ 2,求函數ϕ (x, y) = x + y 沿曲線 C 之線積分。
(A)8
(B)32/3
(C)8 √2
(D)26 √2 / 3
2.2 設 f 和 g 為可微分(differentiable)純量函數,v 和 u 為可微分向量函數,則有關它們的梯度(gradient)、 散度(divergence)與拉普拉斯算子(Laplace operator)的等式,下列何者錯誤? 
3.3 令向量函數 F = [ y 2 , z, x 2 ],曲線 C 為螺旋圓弧線 r(t) = [2cost, 2sint, t]從 (2, 0, 0) 到 (-2, 0, π),則線積分 之值為何?
4.4 令 u, v, w 為空間中向量,則下列敘述何者錯誤?
(A)u ⋅ (u × w) = 0
(B)u ⋅ (ν × w) = (w × u) ⋅ v
(C)u × (v × w) = (u × v) × w
(D)u ⋅(v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
5.,則其反矩陣 A-1的特徵值之積為何?
(A)-3
(B)3
(C) -1/3
(D) 1/3
6. 一個矩陣 ,則以下何者不是其特徵向量(eigenvector)?
(A)x = (2, -4, 6)
(B)x = (2, 0, 6)
(C)x = (2, 2, 0)
(D)x = (-1, 0, 1)
7. 有關正交矩陣(orthogonal matrices)A 的特性,下列何者錯誤?
(A)A 的行向量(column vector)都互為正交
(B)A 的列向量(row vector)都互為正交
(C)A 的行列式值(determinant)為 1 或-1
(D)A 的特徵值(eigenvalues)全為實數
8. 下列選項何者為 e z = 1+2i 的一解,其中i = −1 : 
9.9 令 λ1, λ2, λ3為矩陣 的特徵值(eigenvalues),其中 ,試問下列何者正確?
10.10 針對複數冪級數(complex power series)  的敘述,下列何者正確?
(A)此冪級數僅在 z = 2i 收斂
(B)此冪級數在| z − 2i | < 1/ 27 的開放圓(open disk)內為收斂
(C)此冪級數在| z − 2i | < 27 的開放圓內為收斂
(D)此冪級數在所有複數 z 均收斂
11.11 假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 | z | = 2,試求積分 為何?
(A)0
(B)πi
(C)1
(D)2πi
12.12 下列何項常微分方程式之 x = 0 為不規則奇點(irregular singular point)?
13.13 設微分方程式 的解 y(x) 的拉式轉換為,試求常數 a 及 0 y ,並判定 下列何者正確?
(A) 4 a + y0 =
(B) 3 a + y0 =
(C) 2 a + y0 =
(D) 1
14.14 已知,以下何者為  ?
15.15 試找出微分方程式 y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y (L) = 0 之特徵值(eigenvalues)λ m (m = 1, 2, 3,...)  ?
16.16 下列何者不可能是微分方程式 y′′ + Ay′ + By = 0 的解?其中 A 和 B 為常數。
(A) 2 x
(B) 3x+4 e
(C)e + x 2
(D) cos(3 4)
17.17 有一個週期為 L 的函數 f ( x)= x2 , 0< x< L z ,展開成  ,請問bn 為何?
18.18 離散隨機變數 X 與 Y 之結合機率質量函數(joint probability mass function)為: ,試問下列何者正確?
19.19 二枚錢幣出現正面之機率分別為 1/3  及 1/2 ,同時投擲該二枚錢幣連續 3 次,試求二枚錢幣皆出現正面剛好 2 次之機率為何?
(A) 1/72  
(B) 5/72  
(C) 3/32
(D) 5/36
20.20 假設 50 歲以上的成年人罹患癌症的機率為 0.05,而醫生將患有癌症病患成功篩檢出來的機率為 0.78,但 是將沒有患病的成年人錯誤篩檢為有癌症的機率為 0.06。請問針對此癌症篩檢來說,一位 50 歲以上的成 年人會被檢測出他有癌症的機率為何?
(A)0.039
(B)0.096
(C)0.057
(D)0.05

【非選題】一、請用拉普拉斯轉換法解微分積分方程式

#15299
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【非選題】 。求解 A 的反矩陣(inverse matrix)。(10 分)

#15300
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【非選題】三、試找出一平面 Ax+By+Cz= D, D≠0上距離原點 (0,0,0) 最近一點之座標。(10 分)

#15301
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【非選題】

四、投擲十顆公平的骰子,其中五顆為藍色骰子而另五顆為綠色骰子,試求下列事件之 機率:

【題組】 剛好二顆藍色骰子皆為 6 點且剛好三顆綠色骰子皆為偶數點數。(7 分)

#15302
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【非選題】【題組】藍色骰子出現 6 點之數量同於綠色骰子出現 6 點之數量。(8 分)

#15303
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