Yiting Lin>试卷(2015/07/02)

工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)題庫 下載題庫

104 年 - 104年三等考試_身心障礙人員考試_電力工程 工程數學#22698 

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1.1 令 F,G,H 為向量,α,β 為常數,則下列敘述何者錯誤?
(A)F+G = G+F
(B)(F+G)+H = F+(G+H)
(C)F× G = G× F
(D)(αβ)F = α(βF)
2.2 向量場 F=xyi+(zx-sin(y))j+yzk 在點 P=( −1, 0, 1)的散度(divergence)為何?
(A) − √2
(B) −1
(C)1
(D) √10 /3
3.3 若 A 為一向量,f 為一純量,則下列敘述何者錯誤?
(A)∇ ⋅(∇ × A) = 0
(B)∇ × (∇f ) = 0
(C) ∇ ⋅( fA) = f (∇ ⋅ A) + A ⋅∇f
(D)∇× ( fA) = A ×∇f + f ∇× A
4.重新載圖4 F 為一曲線之位置函數。若 F 為二次可微分,則其曲度(curvature)可寫成:

5.重新載圖5 已知 ,求行列式  之值為何?
(A)1
(B)3
(C)4
(D)6
6. 6 若矩陣 A 的特徵值(eigenvalue)為 1, −1, 1,且 I 代表單位矩陣,則(2A+I)A(A+2I)特徵值為何?
(A)8, 2, 8
(B)9, 1, 9
(C)7, −1, 10
(D)1, −1, 1
7.重新載圖 7 下列敘述何者正確?
(A)   可以被對角化
(B)令 ,x ,則 A 對應 x 的特徵值為 1
(C)令  ,則 A 的特徵值為 4, 2, − 2
(D)令   ,則 A 的特徵值為 4, − 2 , − 2
8.重新載圖8 級數 之收斂半徑 R 之值為何?(其中  )
(A) 1/4
(B)1/2
(C) 3/4
(D)4
9.重新載圖9 假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 ,試求積分  為何?

10.重新載圖10 已知複數數列{z} 及  皆為收斂,且其極限值(limits)分別為 c 及 ,則下列敘述何者錯誤?
(A)數列{zn + } 為收斂,且其極限值為 c+   
(B)數列{zn  } 為收斂,且其極限值為 c   
(C)若 ,則ˆ  ,其中 k 為任意實數
(D)若c =  ,則 {z} = 
11.重新載圖11 若  之解,且m ≠ n ,則m + n 之值為何?其中 a, b, m, n 為常數,  , 
(A) − 6
(B) − 2
(C) −1
(D)1
12.重新載圖12   。以   解之,則 =?
(A)1
(B) 3/2
(C)2
(D) 5/2
13.重新載圖13 下列何者為微分方程式  的解?其中 C1及 C2為任意常數,Jv(x)及 Yv(x)分別為第一 類型及第二類型之 v 階 Bessel 函數。

14.重新載圖14 ,則 f (t) =? 

15.重新載圖15 令  ,而 f(t)  = L−1( F( s ))      ,則   之值為何?
(A)0
(B) 1/18
(C)1
(D)∞
16.重新載圖16 下列何者為線性微分方程式? 

17.重新載圖17 4 個家庭,每個家庭皆有 3 個小孩,試求至少有 3 個家庭剛好擁有 2 個女孩之機率為何?(假設小孩是男 孩或女孩的機率各為 1/2) 

18.18 二枚錢幣投擲出現正面之機率分別為 1/3及 1/5 ,若隨機選擇出一枚錢幣並投擲二次,試求二次皆出現正面 之機率為何?
(A) 1/30
(B) 1/15
(C) 17/225
(D) 4/15
19.19 一容器中有 10 顆完全一樣的球分別標示為 0, 1, 2,…, 9,隨機從容器中取出一顆球並記下其標示之號碼, 該號碼為奇數或 3 的倍數之機率為何?
(A) 1/5
(B) 2/5
(C) 3/5
(D) 4/5
20.重新載圖20 令隨機變數 X 的累積分布為  ,請問下列敘述何者錯誤?
(A) P(0 < x ≤ 2) = 5/ 7
(B) P(X =1) = 4/ 7
(C) P(X ≤ 0) = 2/ 7
(D) P(X ≤1) = 2/ 7
【非選題】
21.一、試利用拉氏轉換(Laplace transform)求解:(10 分) 
【非選題】
22.
二、考慮下列之動態系統:(每小題 5 分,共 10 分) x(k +1) = Ax(k),其中 

【題組】(一)試建構矩陣 A 之一組特徵基底(eigenbasis)。
【非選題】
23.【題組】(二)若 ,試求其穩態值,即
【非選題】
24.
三、隨機變數 X、Y 之結合機率密度函數(joint probability density function)為 ,試求:(每小題 5 分,共 15 分)

【題組】(一)邊際機率密度函數(marginal probability density function) f  X(x) =?
【非選題】
25.【題組】(二) fY/X  ( y/x )=?
【非選題】
26.【題組】(三)機率P(Y ≤ 0.1| X = 0.5)為何?
【非選題】
27.
四、施力 沿著路徑 C 由點 P(1,2,3)出發,作用至點 Q(2, 1− ,4)為止, 其中路徑 C 為連接 P 點與 Q 點的直線。(每小題 5 分,共 15 分)

【題組】(一)列出路徑 C 之參數表示式(parametric representation)
【非選題】
28.【題組】(二)依上述之參數表示式,算出施力 於路徑 C 中所作的功(work):
【非選題】
29.【題組】(三)已知此向量 可以用「純量 f (x,y,z)的梯度(gradient)」表示之,試找出 f (x,y,z)。