Yiting Lin>试卷(2015/06/29)

工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)題庫 下載題庫

104 年 - 104年高員三級鐵路人員_電力工程、電子工程 工程數學#22477 

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1.1 設 v(t)為一向量函數,若已知其長度為一非零常數,則下列何者為不可能?
(A)v'(t)為零向量
(B)v' (t)和 v(t)正交
(C)v' (t)為非零向量且平行於 v(t)
(D)v(t).v(t)為常數(註:"."表內積運算)
2.2 令向量場 F = x2 i + y2 j + 2z2 k,則在(1, 1, -1)處的散度(divergence)∇.F為何?
(A)-1
(B)0
(C)4
(D)8
3.3 若 u = zi + xj + yk 且 v = xyi + yzj + zxk,則∇.(u× v)為:
(A)v.(∇ × u)
(B)2xy + 2yz + 2zx
(C)u.(∇ × v)
(D)xy + yz + zx
4.4 若 F = 2xcos(2y) i – 2x 2 sin(2y) j,C 為從(1, π)到(2, π)之某一曲線,求 ∫C F.dR:
(A)3
(B)6
(C)4-cos(2)
(D)4+cos(2)
5.5 下列何者是正交矩陣(orthogonal matrix)?

6. ,則 A-1的行列式值(determinant)為何?
(A) 0.1
(B)10
(C)-10
(D)-0.1
7.7 若矩陣 ,則 A 的零空間(nullspace)之維度為:
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
8.8 一矩陣 ,下列何者不是矩陣 A 的特徵向量(characteristic vector)? 

9. 9 設複數 z = 6 + i8 = re,其中 ,則(r, θ)為何?
(A)(6, 8)
(B)(6, tan-1(8))
(C)(8, tan-1(6))
(D)(10, tan-1(4/3))
10.10 令 為一複數級數(complex series),則下列敘述何者為錯誤?(註:答案中 q 是一個小於 1 的定值, N 是一個正數) 

(A)若 ,則此級數絕對收斂(absolutely convergent) 

(B)若,則此級數收斂 

(C)若,則此級數發散 

(D)若,則此級數發散
11.11 令 ,其中 z ≠ 0,若 z = x + iy ,則有關 g(z) 的敘述何者正確?

12.12 下列選項中 c1、c2為任意常數。解微分方程式 : 
13.13 求解微分方程 
 
(A) r = π (1− bcosθ )
(B) r = π (1+ bcosθ )
(C) r = π (b − cosθ )
(D) r = b(π − bcosθ )
14.14 一微分方程式(x 2  − x  ) y′′ − xy′ + y =0 ,已知有一解為 y = x ,則下列何者為正確?
(A)另一解為 y2 = x ln x +1且  y2 與 y  1為線性相依
(B)另一解為 y 2  = x ln x + x且  y 2與 y 1 為線性相依
(C)另一解為 y2 = x ln x +1且  y2 與  y1 為線性獨立
(D)另一解為 y = xln x + x 且  y2 與y 1  為線性獨立
15.15 定義函數 f (t) 之拉氏轉換(Laplace transform),令 ,則 f (t) 為 何?其中u(t) 為單位步階(unit step)函數。
(A)[(t −1)cos2(t −1)]u(t −1)
(B)(t −1)cos2(t −1)
(C)(t −1)[cos2t − 2sin 2t]
(D)(t −1)[cos2t − 2sin 2t]u(t −1)
16.16 設 y = a(t) 為 y′′(t) + 4y′(t) + 3y(t) = 6 之解,則  之值為何?
(A)0
(B)1
(C)2
(D)4
17.17 定義傅立葉轉換(Fourier transform)為,其中 ,若 f (x) 之傅立葉轉換 為 ,試問 f (x) 為何?

18.18 投擲一個公正的硬幣 5 次,求正好 3 次正面朝上的機率為何?
(A)3/8
(B)5/16
(C)5/8
(D)11/16
19.19 兩離散隨機變數 X、Y 之結合機率為 P(X = x, Y = y) = A(2x +3y),其中 x = 1, 2;y = 1, 2, 3,則 A=?
(A)1/54
(B) 1/36
(C) 1/24
(D) 1/12
20.20 已知某一電話總機在單位時間內收到之電話數目遵守平均每分鐘 4 通之 Poisson 分布,令 X 表示收到 2 通 電話之等待時間(分鐘),求 P(X ≤1)為何?
(A)  1− 4 e − 2
(B)  1− 5 e − 2 
(C) 1− 4 e − 4 
(D)  1− 5 e − 4

【非選題】

一、設矩陣

【題組】(一)求 A 的特徵值(eigenvalues)。(5 分)

#23716
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【非選題】【題組】(二) A 的特徵向量(eigenvectors)。(5 分)

#23717
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【非選題】【題組】(三)求 A20。(5 分)

#23718
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【非選題】二、考慮有一個週期性函數

,週期為 4,請將 f (x) 表示成傅立葉三 角級數(Fourier trigonometric series)。(15 分)

#23719
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【非選題】三、請利用留數(residue)求之值。(10 分)

#23720
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【非選題】

四、若 X 與 Y 是兩隨機變數(random variables),滿足 E[X ] = 0, E[Y] = −1,X 的 均方差(variance)  ,  E[ Y2]    =4 , E[XY] = −2。設隨機變數 W 與 U 分別為 W = 2 X+Y,U = -X-3Y。(E[*]表示*的期望值(mean value))。求:

【題組】(一) E [W2  ]  。(3 分)

#23721
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【非選題】【題組】(二)E[WU]。(3 分)

#23722
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【非選題】【題組】(三)Y 的均方差(variance):  。(4 分)

#23723
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