113年 - 113 北北基高級中等學校_學科能力測驗聯合模擬考試：數學 A#123761

1. 在生態學上的研究指出島嶼的物種數量與島嶼面積有明顯的關聯性，物種數 S (單位：種)與島嶼面積 A (單位：平方公里) 的關係式為 log S＝log c＋z log A，其中 c 與 z 均為常數，且 c＞0。已知甲島嶼和乙島嶼的面積分別為 36000 平方公里與 450 平方公里，若常數z＝0.25，則甲島嶼的物種數除以乙島嶼的物種數最接近下列何者？(A) 0.5(B) 2(C) 3(D) 8(E)80

2. 動漫製作公司為了回饋長期支持的粉絲，打算舉辦動漫回饋祭的活動，只要參加活動的粉絲即可免費獲得某角色的公仔一隻。已知該角色公仔頭上的帽子、身上穿的披風、左手的手環、右手的手套、腰上的包包共五個配件，每個配件的顏色均有 16 種不同顏色可供選擇其中一種，且顏色可重複選擇。設該角色公仔的五個配件顏色共有 n 種不同的搭配情形，試問下列何者正確？(A) 10 ≤ n＜10²(B) 10⁴ ≤ n＜10⁵(C) 10⁶ ≤ n＜10⁷(D) 10⁹ ≤ n＜10¹⁰(E)10¹¹ ≤ n＜10¹²

3. 設宇集為所有實數R，已知 A＝｛x || 3x－a | ≤ 8｝，B＝｛x | －3 ≤ x ≤ 8｝，試問有多少個整數 a 使得 A ⊆ B？(A) 17 個(B) 18 個(C) 19 個(D) 20 個(E)21 個

4. 在銳角△ABC 中，已知，則 sin B 的最大範圍為下列何者？(A) 0＜sin B＜(B) 0＜sin B＜(C) ＜sin B＜1(D) ＜sin B＜1(E)＜sin B＜1

5. 設三次函數 f(x)＝3(x－2)³＋a(x－2)＋b，已知 y＝f(x) 圖形的對稱中心位於第一象限，且將y＝f(x) 的圖形做適當平移後會與 x 軸交於相異三點。試問 y＝f(x) 的圖形在對稱中心附近可能會近似下列哪一直線？(A) y＝2x＋3(B) y＝x－4(C) y＝－x－2(D) y＝－2x＋3(E)y＝－3x＋8

6. 假設實數 a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈ 是一個公比為 r 的等比數列，其中 a₁＞0，r＜－1。試問從這 8 個數中隨機選出 2 個數的總和為負數的機率為下列何者？(A)(B)(C)(D)(E)

7. 設 a＝log (log 2024)，b＝log (2024²)，c＝(log 2024)²，試選出正確的選項。(A) b＞6(B) b＜c(C) a＞b(D) log b＝2a(E)10^a＝

8. 設 a，b，c 皆為實數，已知多項式 f(x)＝x⁴＋ax³＋bx＋c 除以 x³＋1 的餘式為 3x－1，且f(x) 除以 x－1 的餘式為－2，試選出正確的選項。(A) f(x) 除以 x＋1 的餘式為 2(B) f(x) 除以 x2－x＋1 的餘式為 3x－1(C) a＋b＋c＝－3(D) a＜c(E)不等式 f(x)＞3x－1 的解為 x＞－1

9. 某公司七位員工原來月薪的平均數為 41000 元，標準差為 8000 元，而 敏恩、 慧志、 亞丞為其中三位員工，其月薪分別為 53000 元、33000 元、29000 元。今年因為公司營運方式改變，老闆將七位員工的月薪以 y＝ax＋b 的方式來調整，其中 a＞0，且 x，y 分別代表七位員工調整前後的月薪 (單位：元)。已知調整後七位員工月薪的平均數為 42800 元，標準差減少 1600 元，試選出正確的選項。(A) a＞1(B) 慧志調整後的月薪為 36400 元(C) 慧志與 亞丞調整後的月薪差距比調整前的月薪差距大(D)該公司七位員工調整後的月薪高低排名與調整前相同(E)該公司七位員工調整後的月薪均比調整前的月薪多

10. 在坐標平面上，設△ABC 的外心為 M(a , b)，其中兩頂點坐標為 A(－10 ,－5)，B(－14 , 5)。已知外心 M 到 x 軸、y 軸的距離比為 2：1，試選出正確的選項。(A) | a |＝2| b |(B) M 點必位於直線 2x－5y＋24＝0 上(C) M 點必位於直線 2x－y＝0 上(D) M 點不可能位於第四象限(E)長的最小值為

11. 某校數理資優班有 5 位同學參加校內數學競賽的培訓測驗，測驗內容分為筆試一與筆試二，亦程因為考試當天腸胃炎，所以只能參加補考。設 x，y 分別表示當天其餘 4 位同學筆試一與筆試二的分數，其中筆試一與筆試二的平均分數分別為 60 分與 40 分，筆試一的標準差為分，x 與 y 的相關係數為，y 對 x 的迴歸直線為 L：y＝x＋16。已知 亦程筆試一與筆試二的補考成績分別為 60 分與 40 分，假設含 亦程等 5 位同學筆試一與筆試二的分數分別為 x' 與 y'，其平均分數分別為 μ_x' 與 μ_y'、標準差分別為 σ_x' 與 σ_y'，試選出正確的選項。(A)除亦程以外的 4 位同學筆試二的標準差為分(B) μ_x'＝60 (分)(C) σ_x'＝2 ( 分)(D)含亦程等 5 位同學筆試一與筆試二的相關係數為(E)y' 對 x' 的迴歸直線為 y'＝x'＋16

12. 設 I 為△ABC 的內心，已知 ＝8，且直線 AI 與△ABC 的外接圓 Γ 交於點 D，試選出正確的選項。(A) cos∠BAC＝(B)圓 Γ 的半徑長為37(C)劣弧的弧長為(D)(E)

13. 設遞迴數列〈a_n〉滿足，其中α 與 k 均為正數。若 a₃＋2a₅＝60，則α×k 的最大值為 。

14. 在長方形 ABCD 中， ＝6，＝2，且 E，F 分別位於上，其中四邊形 BCFE為正方形。若將正方形 BCFE 以 E 點為中心順時針旋轉 15° 後得到正方形 B'C'F'E，如下圖所示，則△DEC' 的面積為。(化為最簡根式)

15. 當兩個整數除以同一個正整數 m，若得相同餘數，則稱此二整數同餘於模 m。今將所有的正整數中，除以 5 餘 4 的數，由小至大排列成一個數列〈a_n〉，即這些數均同餘於模 5。若將數列〈a_n〉中可被 2 整除的數，由小至大排列成一個數列〈b_n〉，則 b₁2＋b₂2＋……＋b₁₀²＝。

16. 連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 a，b，在坐標平面上，將直線L：3x＋4y＝0 向右平移 a 單位，再向上平移 b 單位後得直線 L'，則直線 L' 與圓Γ：x²＋y²＝25 交點個數的期望值為個。(化為最簡分數)

17. 在△ABC 中，已知∠A＝60°，D 在上，且滿足＝1：3。若△ABD 的外接圓直徑為 2，則的最大值為。(化為最簡根式)

18. 試問上的正射影長為下列何者？(單選題，3 分)(A)(B)(C)(D)(E)

19. 試求 | | 的最小值及此時的 k 值。(非選擇題，4 分)

20. 設卡帕自 C 點朝向 A 點前進的途中會經過 D 點，已知＝2：1，且 1 ≤ k ≤ 5，試求| | 的最小值及此時的 k 值。(非選擇題，8 分)