candy kao>試卷(2021/04/09)

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106 年 - 2017年第18屆亞洲物理奧林匹亞競賽及第48屆國際物理奧林匹亞競賽-國家代表隊初選試題#97832 

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【非選題】
1.
一、三個大小與形狀均相同,質量分别為m1、m2、m3的質點,成一直線靜置於光滑水平地面上。m1:先以速度v與m2作正向彈性碰撞,碰撞後m2的速度為__(1)__。接著m2向前行再與m3作正向彈性碰撞;若m1、m3質量為定值,則當m2=__(2)__時,會使的碰撞後的m3速率為最大值。

【題組】 (1)


【非選題】
3.二、一個發球器垂直向上以等時間間距To、相同初速連續發射出六顆球。當第一顆球恰達到最高點時,第一與第六顆球之間的距離為H,求此時第六顆球的速率為__ (3)__(忽略空氣摩擦力的影響)

【非選題】
4.

三、汽車輪胎對行車性能與行車安全都是很重要的因素。 假設一般全天候輪胎對乾燥柏油路面 的靜摩擦係數μ=0.70,而濕滑路面為μ=0.40。為了提高過彎行車速率,高速公路的彎道路面通常會傾斜一個角度θ,如圖1所示。 若θ=30°(這是很斜的路面),質量m=1500kg的汽車行經此傾斜彎道,若彎道的曲率半徑r =50m,則雨天時此車可維持在車道上的最高速率為 __(4) __km/h,最低速 率為 __(5) __km/h(假設汽車可視為一個質點。)606fbaca355ce.jpg


【題組】 (4)


【非選題】
6.

四、一厚金屬管,其質量為0.95kg,長度為9.00cm,厚度為1.75cm。在金屬管最外邊緣處標示一點P,若該金屬管從某一高度H之平台上很緩慢的向下滾,如圖2所示。 在金屬管滾動到達下方平面後的數秒內,追蹤了P點的軌跡(x,y),數據經處理後,P點之y及x座標對時間的關係以y(t)及x(t),分別如圖3及圖4所示。求金屬管在平 面滾動之平均角速度ω= __(6)__ rad/s;平台之高度H=__(7)__cm。
註:1.重力加速度以9.80m/s2計算。
2.因為可能的人為誤差,作答中容許±5%的差異。
3.該厚金屬管相對於其中心對稱軸之轉動慣量606fbb41431f4.jpg,其中M為該金屬管之質量,Ro為外半徑,Ri為內半徑。606fbb736d6a3.jpg606fbb8fe17d5.jpg606fbba902f04.jpg


【題組】 (6)


【非選題】
8.

五、 如圖5所示,一質量m=10kg的質點,於t=0時,由一高度為h=1.25m的光滑水平面邊緣,以初速度vo向右作直線運動1.0m後,與一力常數k=4.0N/m,一端固定於牆面的輕質彈簧作正向碰撞,回彈向左運動,最終掉落在距平面邊緣水平距離為1.0m的地面上。則質點初速度v0為何?__(8)__ 該質點在與彈簧接觸期間,彈簧施以該質點的平均力為何?__(9)__ (取向右為正,向左為負,且假設該處重力加速度g=10.0kg-m/s2)606fbc72b6d68.jpg


【題組】 (8)


【非選題】
10.

六、 考慮一剛性金屬棒,以60°斜角, 固定於兩垂直牆面之間,如圖6所示。 將一小環套在此棒上,金屬環連接一條 弦,弦長l固定。弦下方連接一球,球的質量為M。假設弦的質量可以忽略, 環在棒上可以上下滑動,弦與環的連接 是自由的。將弦與棒之間的夾角(較小者)記為Φ,環與球由Φ=Φ0的靜止狀態開始下滑,假設下滑過程中,弦與棒 一直維持在同一鉛直面。將重力加速度記為g。忽略環與棒之間的摩擦,以及環的質量。選擇Φ0,使整個下滑的過程中,弦都沒有擺動,即夾角Φ=Φ0保持不變。在這種情況下,下落的加速度是__(10)__。606fbd9a2f755.jpg



【非選題】
11.

七、 一顆質量為m的衛星 A,環繞一質量為M、半徑為R、可視為靜止的星球,做半徑為R+h(h>0)的圓形軌道運動,被質量為606fbdec9e0e6.jpgm的物體B,以與它相同的速率從相反方向正向撞上,發生完全非彈性碰撞。在碰撞後,兩者立即黏合成為一體(黏合體稱為AB),繼續繞行星球。假設重力常數為G,則在剛碰撞後,AB的速率為__(11)__。若AB不致墜落到星球上,則比h/R至少應為__(12)__。


【題組】 (11)


【非選題】
13.

八、 如圖7所示,把一個質量為m 的質點固定在質量可忽略,半徑為R 的剛性圓環上。初始時質點位於圓環的最高點,並讓圓環以幾乎為零的初速,開始向右運動。若圓環作純滾動,當質點與y軸的夾角為θ時,圓環運動的角速度為 __(13)__。 若圓環與地面的靜摩擦係數為μ,當θ=θ0。 時,圓環會相對於地面滑動,則 sinθ0= __(14)__。
606fbf3facd75.jpg


【題組】 (13)


【非選題】
15.

九、質量可忽略的V-型架的A與C端各固定接上質量為m1及m2的質點,V-型架的端點B固定接上沿x方向的轉動軸,轉動軸穿過固定在x方向的管子,如圖8所示。 已知AB與BC的長度皆為L,轉動軸與AB的夾角固定為θ1,轉動軸與BC的夾角固定為θ2,V-型架與轉動軸系統在無重力的情形下轉動,轉動軸以角速率ω轉動,忽略轉動軸與管子之間的摩擦力,試求當V-型架恰轉到x-y平面時, 兩質點相對於B點的總角動量 __(15)__ ;若將管子移除後,V-型架與轉動軸系統在轉動時,轉動軸仍能維持在x 方向,則sin(2θ1)與sin(2θ2)的關係應為何? __(16)__606fc06b513a4.jpg


【題組】 (15)


【非選題】
17.

十、 鉛直方向是指當自由懸掛的鉛錘線張緊時,沿線的方向,但由於地球自轉的緣故,鉛直線不一定指向地球的中心,而以一很小的角度α,偏離鉛錘和地心的連線, 如圖9(未按比例)所示。該偏離角度α和所在位置的地球緯度λ有關,考慮北半球的情況,利用下列數據:地球半徑R=6.4× 106m 、重力加速度g0=GmE/R2= 9.8m/s2 、地球自轉角速率ω= 2π/86400=606fc14995f83.jpg rad/s,式中G為重力常數,mE為地球的質量,回答下列問題。606fc186b3edd.jpg 在地球表面上的哪一個緯度位置,偏離角度α達到最大值?λ=__(17)__度。計算偏離角度α的最大值:606fc1ca14830.jpg=__(18)__ 度。


【題組】(17)


【非選題】
19.

十一、 如圖10所示,水上飛板為一新發明的水上飛行休閒設備,透過巨型長管吸水, 然後再透過腳底的噴水系統噴出高壓水柱將人推到高空以進行飛行。腳底之噴水系統可由圖11之簡化模型描述,其中水柱經由上方固定施力(加壓)由下方小孔噴去。假設每一腳底有一個出水口,水柱出口半徑r=5cm,上方加壓端之水柱半徑甚大於水柱出 口半徑,即R>>r。若人加上裝備約100kg重,且水柱經噴水系統噴出之過程的重力位能變化可忽略不計,試估計欲使人穩定地浮在空中, 所需提供之功率為__ (19)__W (取兩位有效數字)。(已知水的密度為1000kg/m3)。606fc2974924a.jpg606fc2aeb35e7.jpg



【非選題】
20.

十二、 如圖12所示,一垂直的U形開口細管,橫寬為2R, 裝水到h的深度,繞著它的中垂軸以等角速度ω旋轉。令管底A點為座標系原點,以r代表一點到轉軸之徑向距離,以z代表相對於A點的高度,則A點的座標為(0,0)。 令p(r,z)代表座標為(r,z)之點的液體壓力。假設水的密度p與重力加速度g均為定值,大氣與水的溫度都固定為T。當U形管以角速度ω旋轉而達成平衡時,則(r,0)與 (0,0)兩點的壓力差△p606fc37c96e9a.jpgp(r,0)-p(0,0)= __(20)__ (答案以r、ω與p表示),已知溫度為T時,水的蒸氣壓為 pv。假設水面上(如B點)的大氣壓力為p0,則當ω= __(21)__時(答案以pv、p0、R、h、p與g表示),A點的水會開始沸騰而出現空泡化現象。
606fc41721041.jpg


【題組】 (20)


【非選題】
22.十三、 有一架以等速度v飛行的噴射飛機,在離地高度為h的水平面上,沿一直線飛行。 在地面上的一名觀察者,從目擊該架飛機飛臨他的頭頂正上方時,開始計時,經過時間t之後,聽到音爆。已知當時的聲速為vs,若不計聲速受高度的影響,則該飛機的飛行速度v=__(22)__ ,以vs、h、和t表示之。

【非選題】
23.

十四、 天燈相傳是三國時期孔明發明的,而放天燈是目前台灣家喻戶晓的觀光祈福活動。我們考慮下列的模型以了解天燈為什麼能鼓鼓的升上天空。假設天燈乃由總質量m的薄纸(含燃料等酬載)製成,其外型為圓柱形、體積為V,下方有一直徑較小的圓形開口。天燈外的空氣溫度為606fc4e8e4d93.jpg,密度為606fc5031cedd.jpg,而天燈內的熱空氣溫度為606fc52a720f6.jpg 。假設天燈內外氣體分子組成相同,則天燈內的空氣密度606fc55323b4b.jpg=__(23)__ 。天燈一開始可升空的條件為 __(24)__。


【題組】 (23)


【非選題】
25.

十五、 有兩個絕熱圓柱形容器裝著相同莫耳數n、同種類的理想氣體如圖13。兩理想氣體的初始的體積皆為V,溫度為T。系統A有一個可翻轉的閥門,上半部為真空。 系統B有一個沒有摩擦力、可移動的活塞。兩容器的總體積皆為2V。接下來,系統 A的閥門被迅速打開;系統B的活塞則緩慢上升到頂。系統A在此過程的溫度變化 __(25)__ 。系統B在此過程的溫度變化為__(26)__ (答案可能要用到參數 γ=CP/Cv;Cp與Cv分別為理想氣體定壓與定容比熱。)

606fc662a2784.jpg


【題組】 (25)


【非選題】
27.
十六、 二相同的絕熱容器中各含相同數目的氦原子,二者以一閥門相聯。若第一個容器中原子的方均根(root-mean square速度為1.0×103m/s,第二個容器中的原子的方均根速度為2.0×103m/s,則將相連的閥門打開,使二容器相通,達平衡後容器中原子的方均根速度為何? __(27)__ 此時容器中氣體的溫度為何? __(28)__ (已 知:氦氣的原子量為4.0g/mole;氣體常數R=8.31J/mol.K)

【題組】(27)


【非選題】
29.

十七、 如圖14所示,考慮一長方形汽缸,唯一可活動的一面活塞設為y-z平面,面積為606fc72b97a45.jpg。其他汽缸面均固定,汽缸內氣體保持不外洩。汽缸外壓力保持為一大氣壓,溫度保持為23℃。 汽缸內裝有0.1莫耳由雙原子分構成的理想氣體。若在活塞垂直施力F,活塞面會移動△x。假設施力前後,氣體都與汽缸外環境维持熱平衡狀態。當△x很小時,施力F會正比於△x,如同彈簧一般。計算此系統所對應的等效彈力常數:F/△X= __(29)__。 在許多實際的運用中,活塞的運動很快,會使汽缸內外不容易達成熱平衡,但汽缸內氣體達成熱平衡又夠快,可以視為準靜過程(氣體在變化中一直處於熱平衡狀態) 此時將汽缸內氣體視為絕熱,反而是較好的近似。絕熱過程中,氣體的壓力與體積滿足PVγ=常數,γ=CP/CV。對雙原子分子構成的理想氣體:γ~1.4。假設施力過程氣體一直保持絕熱,求此時對應的等效彈力常數:F/△X=__(30)__。606fc80787b62.jpg


【題組】 (29)


【非選題】
31.

 一、如圖15所示,一單擺由一長L、質量可忽略的細繩與固定於其底端的質點所組成。 單擺一端固定在O點,某生在距離O點αL處的A點處釘上一圖釘,將單擺拉緊到水平後由靜止釋放。606fc9508aa37.jpg


【題組】(a)求質點在B點時細繩所受的張力T。(5分)


【非選題】
32.【題組】

(b)當α≤αc時,細繩在特定角度θ=θ0時張力會變成零,求αc及cosθ0(2分)



【非選題】
33.【題組】

(c)若α=3/7,試问單擺細繩繞圖釘運動的過程中(即階段Ⅱ),質點軌跡的最高點與A點的高度差d。(4分)



【非選題】
34.【題組】

(d)當α=α0時,質點在下降的過程中會恰好打到A點,求α0。(4分)



【非選題】
35.

二、在宇宙膨脹的過程中,我們通常用一個與時間相關的通用尺度因子α(t)來表示長度和距離。兩顆恆星之間的距離L(t)正比於α(t),即L(t)=kα(t),式中k為常數。因此我們可以用「宇宙尺度因子」α來描述其膨脹程度。以下假設宇宙膨脹為準靜態的絕熱膨脹過程。


【題組】(a)早期宇宙的溫度極高,所有的粒子的運動速率幾乎接近光速,因此這些粒子可視為「光子氣體」。假設此「光子氣體」以均勻的密度瀰漫在整個宇宙空間, 且「光子氣體」的壓力p與能量密度u的關係為=u/3,求其能量密度u與a之間的關係 (5分)


【非選題】
36.【題組】(b)已知「光子氣體」的能量密度=bT4,式中b為常數,T為光子氣體的絕對溫度。求此「光子氣體」的溫度T與a之間的關係。 (4分)

【非選題】
37.【題組】(c)現今宇宙背景輻射的溫度已測知為3.0K。不考慮宇宙在膨脹過程中,形成物質的影響,則當宇宙背景輻射的溫度為3000K時,宇宙體積V(3000K)和現今宇宙體積V(3.0K)的比值。 (3分)

【非選題】
38.【題組】(d)宇宙溫度會隨著膨脹而下降。當溫度夠低時,大部分的粒子變成像灰塵一樣, 其壓力p=0,求這個時期宇宙能量密度u與a之間的關係。 (3分)

懸賞詳解

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1. Doraemon, a blue cat from the twenty-second century, has already become the most famous cat in the world. He is a character from the cartoon“ Doraemon.” People 41 were born in 1970s mus...

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