【站僕】摩檸Morning>試卷(2016/02/18)

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104 年 - 104年國安三等數論#42733 

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【非選題】
1.一、⑴設 F3 為一個 3 個元素的有限體。若 α 為佈於 F3 的多項式1 + 2x + x 3 的一個根,試證 明 α 為有限體 F3[ α ] 的一個原元素(primitive element)。(10 分)

【非選題】
2. ⑵求下列同餘聯立方程式的解:(10 分) 
 2x ≡ 1(mod 3) 
 3x ≡ 2 (mod 5) 
 5x ≡ 4 (mod 7)


【非選題】
3.
二、一個合成數(composite number)n 滿足對所有整數 a ,1 ≤ a ≤ n , a n ≡ a (mod n)都成 立;稱為卡邁克爾數(Carmichael number)。(每小題 10 分,共 20 分)

【題組】 ⑴試證明 561 是一個卡邁克爾數。


【非選題】
4.【題組】 ⑵設 n 為一個卡邁克爾數,試證明每一個 n 的質因數 p 都滿足 p − 1整除 n − 1 。

【非選題】
5.
三、設 f 為一個算術函數且令 F(n) = ∑d | n f(d) 。(每小題 10 分,共 20 分)

【題組】 ⑴試證明若 f 是可乘函數,則 F 亦為可乘函數。


【非選題】
6.【題組】 ⑵反之,試證明上面敘述⑴的逆敘述亦成立。

【非選題】
7.四、設 p 為ㄧ滿足 p ≡ 1 (mod 4)之質數。若 q = 2p + 1 亦為一個質數,試證明 2 必為 mod q 的原根(primitive root)。(20 分)

【非選題】
8.五、⑴在方程式 x 2 − 2y 2 = 1 所有的正整數解(x, y)中,使得 x + y √2 最小的解稱為此方程 式的基本解。已知方程式 x 2 − 2y 2 = 1 的基本解為(3, 2)。試證明此方程式所有的正 整數解為( x k , y k ),其中 x k + y k √2 = (3 + 2 √2 ) k , k = 1, 2, 3, ...... 。(10 分)

【非選題】
9. ⑵試證明每一個整數都可以表示成五個整數的立方和。(10 分)

懸賞詳解

國一國文上第二次

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