【站僕】摩檸Morning>試卷(2016/02/22)

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103 年 - 103年國安三等數論#43241 

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【非選題】
1.一、⑴求同餘方程式 17 x 9 (mod 276)的所有整數解。(10 分)

【非選題】
2. ⑵求聯立同餘方程式 7 x + 3 y 10 (mod 16) , 2 x + 5 y 9 (mod 16)的所有整數解。 (10 分)

【非選題】
3.
二、若將所有的質數依由小而大次序排列,設 pn 為第 n 個質數。試證明下列敘述:

【題組】 ⑴對任一正整數 n, p n +1 ≤ p1p 2  ...p n + 1。(6 分) 


【非選題】
4.【題組】 ⑵對任一正整數 n, p n +1 ≤ 2 2 n。(14 分)

【非選題】
5.
三、設 ø(n)為尤拉函數(Euler's function)。試證明下列敘述:

【題組】 n ⑴對任一正整數 n,  ≤ ø(n) ≤ n 。(12 分)


【非選題】
6.【題組】 ⑵若 n > 1 且 ø(n)整除 n − 1,則 n 必然是幾個相異質數的乘積。(8 分)

【非選題】
7.
四、設 p 為一奇質數。

【題組】 ⑴若整數 a 與 p 互質,試證明 ax y (mod p)恆有一組整數解(x0 , y0)滿足 0 < |x 0|< √p 且 0 < |y 0| < √p 。(10 分)


【非選題】
8.【題組】 ⑵使用⑴的結果,試證明若 p 1 (mod 4),則 p 可以寫成兩個平方和。(10 分) 

【非選題】
9.五、⑴ Fn = 22n +1,n ≥ 1 ,稱為費瑪數。若 Fn 為質數,試證明 3 必為 mod Fn 的原根(primitive root modulo Fn)。(10 分)

【非選題】
10. ⑵設 p 為一奇質數,且r1 , r2 , ... ,  為從 1 到p − 1 之間所有的 mod p 的二次剩餘(quadratic 2 p −1 2 residues modulo p);試證明若  ≡ 1 (mod p ) ,則 p 3 (mod 4)。(10 分)

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