【站僕】摩檸Morning>試卷(2016/03/01)

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101 年 - 101年國家情報人員三等數論#44636　

【非選題】
1.一、⑴求 8 x ≡ 10(mod 35)的所有整數 x 之解。（10 分）

【非選題】
2. ⑵求同餘聯立方程 8 x ≡ 10(mod 35) 和 x ≡ 10(mod 34)的所有整數 x 之解。（10 分）

【非選題】
3.二、令 u, v 為自然數，滿足 u ² + 16 ² = v ² 和 i ^u + i ^v = −2 ，求所有 (u, v) 之值。【用 2⁸ = (v + u )(v − u ) 】（20 分）

【非選題】
4.三、令 u 的自然數滿足 u 2 ≡ 319 (mod 13) 和 u < 13 ，求所有 i u 之值。【用費馬小定理和尤拉判別法 Euler’s Criterion】（20 分）

【非選題】
5.四、令 v 為自然數， p 為 v 之某質因數。假設對所有整數 x, v 皆滿足 x v ≡ x (mod v )，證明 ( p − 1) | (v − 1) 。【先敘述 p 的原根，Primitive Root modulo p】（20 分）

【非選題】
6.五、某市放颱風假，出現 to be or not to be 的選擇，請先編碼（Encode）這句英文成為 26 位的數字，記為 D。方法如下：依序接連取 a 為 10，b 為 11，c 為 12，…， y 為 34，z 為 35。設只有 yes 和 not 二種選擇，依上法 yes 編成 6 位數字，記為 Y。not 編成 6 位數字，記為 N。令 26 位數 D = u ⋅ 10¹³ + v ，其中 u, v 為自然數且 u, v 皆小於 10¹⁴ 。比較 2i ^u + i ^v 和 i ^Y + i ^N 的實部與虛部，造成相同數字的 Y 或 N 為其選擇，請問某市選擇 yes 或 not？（20 分）