【站僕】摩檸Morning>試卷(2019/11/12)

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108 年 - 108 公務人員升官等公務薦任_統計:統計學#80513 

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【非選題】
1.
一、為了避免斷橋事件再次發生,針對各單位在未來進行橋梁的施工和檢 測,交通部作了許多檢討,其中針對橋梁鋼索的壽命,交通部制定了一 些新規定。已知某鋼索製造商生產之鋼索壽命服從具有平均數 50 年的 指數分配。今由該製造商之生產線隨機抽出一組樣本數為二之隨機樣 本,分別以 X1與 X2表示。令隨機變數S = min{X1 , X2}及T = max{X1 , X2} 分別代表此組樣本中之最小值及最大值。

【題組】 ⑴求出變數 S 與 T 之聯合累積分配函數(joint cumulative distribution function),F(s, t)。(10 分)

【非選題】
2.【題組】⑵求出變數 S 與 T 之共變異數Cov(S, T)。(10 分)

【非選題】
3.【題組】⑶求出機率P(S > 50, T >100)。(10 分)

【非選題】
4.
二、中美貿易戰開打後,造成各國間匯率跟著波動。某經濟學家長期研 究新臺幣兌美元的匯率(以 X 表示)、兌人民幣的匯率(以 Y 表示)、 兌泰銖的匯率(以 Z 表示),發現三者間有密切的關係。經濟學家發 現(X, Y, Z)具有三元常態分配,且其平均數分別為E(X ) = 30、E(Y) = 4、 E(Z) =1,變異數分別為V(X ) =1,V(Y) = 4,V(Z) = 9,共變異數分別 為Cov(X, Y) = −1,Cov(X, Z) = 0,Cov(Y, Z) =1

【題組】 ⑴求出給定Y = 8之下,(X, Z)之條件機率密度函數。(10 分)

【非選題】
5.【題組】

⑵令變數5dca734bcb2c6.jpg ,求出變數 W 之分配。(10 分)



【非選題】
6.【題組】⑶ 求 出 條 件 期 望 值 的 變 異 數 V[E(X |Y )] 及 條 件 變 異 數 的 期 望 值 E[V (X |Y )]。(10 分)

【非選題】
7.【題組】⑷令變數U = 2X +3Y − Z ,V = X − 2Y + Z ,求出給定V = 23之下,U 之 條件機率分配。(10 分)

【非選題】
8.
三、除了少子化的危機之外,臺灣多年來一直存在「出生性別比」較正常值 略高的疑慮。某社會學學者為了瞭解臺灣是否有重男輕女的狀況,隨機 抽樣觀察 n 個新生兒的性別。令變數 Bi代表第 i 個新生兒為男孩的個數, θ 代表新生兒為男孩的機率,則 B1, B2, …, Bn 為一組具有白努利分配 (Bernoulli distribution)的隨機樣本。

【題組】⑴求出變數 Bi 的變異數 Var(Bi)之最小變異不偏估計量(uniformly minimum variance unbiased estimator)。(10 分)

【非選題】
9.【題組】⑵ 求 出 上 述 Var(Bi) 之 不 偏 估 計 量 的 變 異 數 的 Cram’er-Rao 下 限 (Cram’er-Rao lower bound)。(10 分)

【非選題】
10.【題組】

⑶ 求出勝算(odds) 5dca738f13755.jpg 之最大概似估計量(maximum likelihood estimator)。(10 分)



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