申論題

三、證明一個數 a = a_n × 10ⁿ + a_n−1 × 10ⁿ⁻¹ + … + a1 × 10 + a0 是否可以被 11 整 除，若且唯若（if and only if）此數偶數位數（a0 + a2 + a4 …，假設個位數算 是第一個偶數位數）的和減去此數奇數位數（a1 + a3 + a5 …）的和可 以被 11 整除。舉例來說，2156517 可以被 11 整除，因為此數偶數位 數的和（7 + 5 + 5 + 2 = 19）減去奇數位數的和（1+ 6 + 1 = 8）為 11，可 （提示：證明若 n 為偶數，a mod 11 =(a_n−a_n−1 + …−a₁ + a₀) mod 以被 11 整除。 11。若 n 為奇數，a mod 11 =(−a_n + a_n−1 − …−a₁ + a₀) mod 11） （12 分）