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主要內容： 拋物線 (Parabola)： 定義： 平面上到一個定點 (焦點) 和一條定直線 (準線) 的距離相等的點的軌跡。 標準式： y² = 4cx (開口向右) y² = -4cx (開口向左) x² = 4cy (開口向上) x² = -4cy (開口向下) 其中 c > 0，c 為焦點到頂點的距離。 要素： 焦點 (Focus)： (c, 0), (-c, 0), (0, c), (0, -c) (取決於標準式) 準線 (Directrix)： x = -c, x = c, y = -c, y = c (取決於標準式) 頂點 (Vertex)： (0, 0) 軸 (Axis)： 對稱軸，通過焦點且垂直於準線。 正焦弦長 (Latus Rectum)： 通過焦點且垂直於軸的弦的長度，等於 4c。 一般式： 可以透過配方法將一般式轉換為標準式。 橢圓 (Ellipse)： 定義： 平面上到兩個定點 (焦點) 的距離之和等於一個定值 (2a) 的點的軌跡。 標準式： x²/a² + y²/b² = 1 (焦點在 x 軸上) y²/a² + x²/b² = 1 (焦點在 y 軸上) 其中 a > b > 0，a 為長半軸長，b 為短半軸長。 要素： 焦點 (Foci)： (c, 0), (-c, 0) 或 (0, c), (0, -c) (取決於標準式)，且 c² = a² - b² 頂點 (Vertices)： (a, 0), (-a, 0) 或 (0, a), (0, -a) (取決於標準式) 長軸 (Major Axis)： 通過兩個焦點且連接兩個頂點的線段，長度為 2a。 短軸 (Minor Axis)： 垂直於長軸且通過中心點的線段，長度為 2b。 中心 (Center)： 長軸和短軸的交點，(0, 0)。 焦距 (Focal Length)： 兩個焦點之間的距離，2c。 離心率 (Eccentricity)： e = c / a，0 < e < 1，描述橢圓的扁平程度。 一般式： 可以透過配方法將一般式轉換為標準式。 雙曲線 (Hyperbola)： 定義： 平面上到兩個定點 (焦點) 的距離之差的絕對值等於一個定值 (2a) 的點的軌跡。 標準式： x²/a² - y²/b² = 1 (焦點在 x 軸上) y²/a² - x²/b² = 1 (焦點在 y 軸上) 其中 a > 0, b > 0，a 為實半軸長，b 為虛半軸長。 要素： 焦點 (Foci)： (c, 0), (-c, 0) 或 (0, c), (0, -c) (取決於標準式)，且 c² = a² + b² 頂點 (Vertices)： (a, 0), (-a, 0) 或 (0, a), (0, -a) (取決於標準式) 實軸 (Transverse Axis)： 連接兩個頂點的線段，長度為 2a。 虛軸 (Conjugate Axis)： 垂直於實軸且通過中心點的線段，長度為 2b。 中心 (Center)： 實軸和虛軸的交點，(0, 0)。 焦距 (Focal Length)： 兩個焦點之間的距離，2c。 離心率 (Eccentricity)： e = c / a，e > 1，描述雙曲線的開口大小。 漸近線 (Asymptotes)： 雙曲線趨近的兩條直線，方程式為 y = ±(b/a)x 或 x = ±(b/a)y (取決於標準式)。 一般式： 可以透過配方法將一般式轉換為標準式。 學習方法建議： 理解定義： 掌握拋物線、橢圓、雙曲線的定義，以及它們的要素。 熟練公式： 熟記標準式、焦點、準線、頂點等公式。 圖形結合： 理解二次曲線的圖形，以及它們的性質。 配方法： 熟練掌握配方法，能將一般式轉換為標準式。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 學習這個章節的重要性： 幾何基礎： 二次曲線是解析幾何的重要內容。 物理應用： 二次曲線廣泛應用於物理學中，例如拋體運動、行星軌道等。 工程應用： 二次曲線也廣泛應用於工程學中，例如橋樑設計、天線設計等。