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主要內容： 多項式的定義與基本概念： 定義： 多項式是由常數、變數和加、減、乘、非負整數次方的運算組成的代數式。一般形式為： f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ 其中 aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ 是常數，n 是非負整數，稱為多項式的次數。 名詞解釋： 係數 (coefficients)： aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ 領導係數 (leading coefficient)： aₙ（最高次項的係數） 常數項 (constant term)： a₀ 項 (term)： aₖxᵏ (k = 0, 1, ..., n) 次數 (degree)： n (最高次項的次方) 零多項式 (zero polynomial)： 所有係數都是 0 的多項式，不定義次數。 多項式的運算： 加法與減法： 將同次項的係數相加或相減。 乘法： 利用分配律展開，再合併同次項。 除法： 長除法： 類似於整數的長除法，用於求商式和餘式。 綜合除法： 一種簡化的除法方法，適用於除式為 (x - a) 的情況。 餘式定理與因式定理： 餘式定理： 多項式 f(x) 除以 (x - a) 的餘式等於 f(a)。 因式定理： (x - a) 是多項式 f(x) 的因式，若且唯若 f(a) = 0。 多項式函數的圖形： 一次函數 (線性函數)： f(x) = ax + b，圖形為直線。 二次函數： f(x) = ax² + bx + c，圖形為拋物線。 頂點： 拋物線的最高點或最低點。 對稱軸： 通過頂點且垂直於 x 軸的直線。 開口方向： 由 a 的正負決定（a > 0 開口向上，a < 0 開口向下）。 高次多項式函數： 圖形較為複雜，但可以透過分析領導係數、根、重根等資訊來了解圖形的大致走向。 多項式方程式： 定義： 將多項式函數 f(x) 設為 0，即 f(x) = 0，得到的方程式。 解 (根)： 滿足方程式的 x 值。 實根與虛根： 實根： 實數解。 虛根： 非實數的複數解。 根的性質： 有理根檢驗法： 用於尋找整係數多項式方程式的有理根。 代數基本定理： n 次多項式方程式在複數域中有 n 個根（計入重根）。 實係數多項式方程式的虛根成對出現： 若 a + bi (b ≠ 0) 是實係數多項式方程式的根，則 a - bi 也是根。 多項式不等式： 定義： 包含多項式函數的不等式，例如 f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0。 解法： 因式分解： 將多項式分解為一次因式的乘積。 畫數線： 標示出根，並根據因式的正負性判斷各區間的函數值正負。 學習方法建議： 理解定義： 掌握多項式的基本概念和術語。 熟練運算： 多加練習多項式的加、減、乘、除運算。 圖形與方程式結合： 理解多項式函數的圖形與方程式的根之間的關係。 多思考、多提問： 遇到問題不要害怕，多思考、多提問，才能深入理解。 學習這個章節的重要性： 基礎知識： 多項式函數是許多其他數學概念的基礎，例如微積分、線性代數等。 應用廣泛： 多項式函數在科學、工程、經濟等領域都有廣泛應用。 培養數學能力： 透過學習多項式函數，可以培養數學建模、邏輯推理等能力。