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主要內容： 向量的基本概念： 向量 (Vector)： 同時具有大小和方向的量。 純量 (Scalar)： 只有大小，沒有方向的量。 有向線段： 用來表示向量的線段，起點稱為始點，終點稱為終點。 向量的表示法： 幾何表示法：用帶箭頭的線段表示。 坐標表示法：在直角坐標系中，用有序數對 (a, b) 表示，其中 a 為 x 分量，b 為 y 分量。 向量的大小 (Magnitude)： 向量的長度，也稱為模 (Modulus)，記作 |v| 或 ||v||。 若 v = (a, b)，則 |v| = √(a² + b²) 單位向量 (Unit Vector)： 大小為 1 的向量。 零向量 (Zero Vector)： 大小為 0 的向量，方向任意，記作 0 或 (0, 0)。 平行向量 (Parallel Vectors)： 方向相同或相反的向量。 相等向量 (Equal Vectors)： 大小相等且方向相同的向量。 反向量 (Opposite Vector)： 大小相等但方向相反的向量。 向量的運算： 向量加法 (Vector Addition)： 幾何意義：平行四邊形法則或三角形法則。 坐標表示：若 a = (a₁, a₂)，b = (b₁, b₂)，則 a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂) 向量減法 (Vector Subtraction)： 幾何意義：將減向量的始點與被減向量的始點重合，則差向量為連接兩向量終點的向量，方向由減向量的終點指向被減向量的終點。 坐標表示：若 a = (a₁, a₂)，b = (b₁, b₂)，則 a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂) 純量乘法 (Scalar Multiplication)： 幾何意義：將向量的長度放大或縮小，方向不變或相反。 坐標表示：若 a = (a₁, a₂)，k 為純量，則 ka = (ka₁, ka₂) 內積 (Dot Product)： 幾何意義：a · b = |a| |b| cos θ，其中 θ 為 a 和 b 的夾角。 坐標表示：若 a = (a₁, a₂)，b = (b₁, b₂)，則 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ 性質： a · b = b · a a · (b + c) = a · b + a · c (ka) · b = k(a · b) a · a = |a|² 若 a, b 皆為非零向量，且 a · b = 0，則 a ⊥ b (a 垂直於 b) 外積 (Cross Product)： (高中數學通常不深入討論外積，但在大學物理、工程中很重要) 外積是三維空間向量的運算，結果也是一個向量，其方向垂直於原來的兩個向量。 向量的應用： 直線的參數式： 過點 P₀(x₀, y₀)，方向向量為 v = (a, b) 的直線的參數式為： x = x₀ + at y = y₀ + bt，其中 t 為參數 向量在幾何上的應用： 判斷兩直線是否平行或垂直。 求兩向量的夾角。 求點到直線的距離。 證明幾何定理。 分點公式： 設 P₁, P₂ 為平面上相異兩點，且 P 為直線 P₁P₂ 上一點，若 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BP%7D%3D%5Cfrac%7Bm%5Cvec%7BP_1%7D%2Bn%5Cvec%7BP_2%7D%7D%7Bm%2Bn%7D" referrerpolicy="no-referrer" alt="\vec{P}=\frac{m\vec{P_1}+n\vec{P_2}}{m+n}">, 則 P 點坐標為 ((mx₁+nx₂)/(m+n), (my₁+ny₂)/(m+n)) 學習方法建議： 理解概念： 掌握向量的基本概念和定義，例如大小、方向、相等、平行等。 熟練運算： 熟記向量的加法、減法、純量乘法、內積等運算規則，並能靈活運用。 圖形結合： 理解向量的幾何意義，並能用圖形輔助思考。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 應用於物理： 將向量知識應用於物理問題，例如力、速度等。 學習這個章節的重要性： 幾何基礎： 向量是研究幾何問題的重要工具。 代數方法： 向量提供了一種用代數方法解決幾何問題的途徑。 物理應用： 向量廣泛應用於物理學中，例如力學、電磁學等。 工程應用： 向量也廣泛應用於工程學中，例如結構分析、控制系統等。