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主要內容： 極限 (Limits)： 函數的極限： 當 x 無限接近某個值時，函數 f(x) 的趨近值。 數列的極限： 當 n 無限增大時，數列 aₙ 的趨近值。 極限的嚴格定義： 使用 ε-δ 語言或 ε-N 語言描述極限。 極限的性質： 極限的四則運算、夾擠定理等。 連續性 (Continuity)： 函數在某點連續，意味著函數在該點有定義、有極限，且極限值等於函數值。 微分 (Differentiation)： 導數 (Derivative)： 函數在某點的變化率，幾何上是切線的斜率。 **定義：** f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h 微分規則： 常數函數、冪函數、三角函數、指數函數、對數函數等的導數公式。 微分法則： 加法法則、乘法法則、除法法則、鏈鎖法則等。 高階導數 (Higher-Order Derivatives)： 函數的二階導數、三階導數等。 隱函數微分 (Implicit Differentiation)： 對於隱函數 (例如 x² + y² = 1) 求導數的方法。 相關變率 (Related Rates)： 研究不同變數變化率之間的關係。 線性近似 (Linear Approximation)： 使用切線來近似函數在某點附近的值。 積分 (Integration)： 不定積分 (Indefinite Integral)： 求函數的原函數，即其導數等於給定函數的函數。 **表示：** ∫f(x) dx = F(x) + C，其中 F'(x) = f(x)，C 為積分常數。 定積分 (Definite Integral)： 求函數在某個區間上的積分值，幾何上是曲線與 x 軸之間的面積。 **定義：** ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 的原函數。 積分技巧： 換元積分法、分部積分法等。 微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)： 連接微分和積分的橋樑。 **第一部分：** 如果 F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，則 F'(x) = f(x)。 **第二部分：** ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F'(x) = f(x)。 積分的應用： 計算面積、體積、弧長、表面積等。 微分的應用： 函數的單調性 (Monotonicity)： 判斷函數的遞增或遞減區間。 極值 (Extrema)： 找出函數的極大值和極小值。 凹凸性 (Concavity)： 判斷函數的圖形是向上彎曲還是向下彎曲。 反曲點 (Inflection Points)： 函數凹凸性改變的點。 最優化問題 (Optimization Problems)： 在給定的約束條件下，找出使目標函數達到最大值或最小值的解。 羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)： 用於求解不定型極限 (例如 0/0 或 ∞/∞)。 積分的應用： 面積 (Area)： 計算曲線與 x 軸之間的面積，或兩條曲線之間的面積。 體積 (Volume)： 計算旋轉體的體積 (使用圓盤法、殼層法等)。 弧長 (Arc Length)： 計算曲線的長度。 表面積 (Surface Area)： 計算旋轉曲面的表面積。 無窮級數 (Infinite Series)： 數列 (Sequence) 與級數 (Series) 的區別 收斂性檢驗： 判斷無窮級數是否收斂 (例如比值檢驗、根值檢驗等)。 冪級數 (Power Series)： 具有特定形式的無窮級數。 泰勒級數 (Taylor Series) 與麥克勞林級數 (Maclaurin Series)： 將函數表示成無窮級數的形式。 高中階段可能接觸到的初步概念： 極限的直觀概念： 了解當 x 趨近於某個值時，函數 f(x) 的趨勢。 導數的定義和幾何意義： 理解導數是切線斜率，並能用它來求簡單函數在某點的切線方程式。 簡單函數的微分公式： 例如 xⁿ (n 為整數)、sin x、cos x 等。 定積分的幾何意義： 理解定積分是曲線下的面積。 學習方法建議： 理解概念： 微積分涉及許多抽象概念，需要深刻理解。 掌握公式： 熟記各種微分和積分公式。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 圖形輔助： 利用圖形輔助理解概念，例如導數是切線斜率，積分是面積。 應用實例： 了解微積分在物理、工程、經濟等領域的應用。 學習這個章節的重要性： 數學基礎： 微積分是許多高等數學課程的基礎，例如微分方程、複變函數等。 科學工具： 微積分是科學研究的重要工具，廣泛應用於物理、化學、生物等領域。 工程應用： 微積分是工程設計的基礎，應用於力學、電路、控制等領域。 "