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主要內容： 指數 (Exponents)： 指數的定義： 當 n 為正整數時，aⁿ = a × a × ... × a (n 個 a 相乘)。 當 a ≠ 0 時，a⁰ = 1。 當 n 為正整數時，a⁻ⁿ = 1 / aⁿ。 當 m, n 為整數且 n > 0 時，a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ。 指數律： aᵐ × aⁿ = a^(m+n) aᵐ / aⁿ = a^(m-n) (aᵐ)ⁿ = a^(mn) (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ 指數函數 (Exponential Function)： 定義：f(x) = aˣ，其中 a > 0 且 a ≠ 1。 圖形： 當 a > 1 時，指數函數是遞增函數。 當 0 < a < 1 時，指數函數是遞減函數。 性質： 定義域：所有實數。 值域：(0, ∞)。 恆過點 (0, 1)。 x 軸是漸近線。 對數 (Logarithms)： 對數的定義： 若 a > 0 且 a ≠ 1，則 logₐ b = x ⇔ aˣ = b。 a 稱為底數 (base)，b 稱為真數 (argument)。 常用對數 (Common Logarithm)： 以 10 為底的對數，記作 log₁₀ b 或 log b。 自然對數 (Natural Logarithm)： 以 e (歐拉數，約等於 2.71828) 為底的對數，記作 logₑ b 或 ln b。 對數律： logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y logₐ xⁿ = n logₐ x logₐ b = (log꜀ b) / (log꜀ a) (換底公式) 對數函數 (Logarithmic Function)： 定義：f(x) = logₐ x，其中 a > 0 且 a ≠ 1。 圖形： 當 a > 1 時，對數函數是遞增函數。 當 0 < a < 1 時，對數函數是遞減函數。 性質： 定義域：(0, ∞)。 值域：所有實數。 恆過點 (1, 0)。 y 軸是漸近線。 指數函數與對數函數的關係： 互為反函數：y = aˣ 和 y = logₐ x 互為反函數。 圖形對稱於直線 y = x。 學習方法建議： 理解定義： 掌握指數和對數的定義，以及底數和真數的限制。 熟練公式： 熟記指數律和對數律，並能靈活運用。 圖形結合： 理解指數函數和對數函數的圖形，以及它們的性質。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 學習這個章節的重要性： 基礎知識： 指數與對數是許多其他數學概念的基礎，例如微積分、三角函數等。 應用廣泛： 指數與對數廣泛應用於科學、工程、金融等領域，例如複利計算、地震規模、pH 值等。 培養數學能力： 透過學習指數與對數，可以培養數學建模、邏輯推理等能力。 一些具體例子： 複利計算： 銀行存款的複利計算公式就用到了指數函數。 地震規模： 地震的芮氏規模 (Richter scale) 使用對數來表示地震的強度。 聲音強度： 聲音的分貝 (decibel) 使用對數來表示聲音的強度。 放射性衰變： 放射性元素的衰變過程可以用指數函數來描述。