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主要內容： 基本計數原理： 加法原理： 完成一件事有若干類方法，每一類方法中又有若干種不同的方法。若完成這件事的方法，可分成 n 類互不相容的方法，且第一類有 m₁ 種方法，第二類有 m₂ 種方法，…，第 n 類有 mₙ 種方法，則完成這件事共有 m₁ + m₂ + … + mₙ 種方法。 乘法原理： 完成一件事需要經過若干個步驟，每個步驟又有若干種不同的方法。若完成這件事需要經過 n 個步驟，且第一步驟有 m₁ 種方法，第二步驟有 m₂ 種方法，…，第 n 步驟有 mₙ 種方法，則完成這件事共有 m₁ × m₂ × … × mₙ 種方法。 排列 (Permutation)： 定義： 從 n 個不同的物件中，取出 m 個物件排成一列，稱為一個排列。 符號： P(n, m) 或 ⁿPₘ 公式： P(n, m) = n! / (n - m)! (其中 n! 表示 n 的階乘，n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1) 特殊情況： 當 m = n 時，P(n, n) = n! (全排列) 重複排列： 從 n 個不同的物件中，每次取一個，取後放回，取 m 次排成一列，稱為重複排列。 公式：nᵐ 組合 (Combination)： 定義： 從 n 個不同的物件中，取出 m 個物件成為一組，稱為一個組合。 符號： C(n, m) 或 ⁿCₘ 或 (n choose m) 公式： C(n, m) = n! / (m! × (n - m)!) 性質： C(n, m) = C(n, n - m) C(n, 0) = C(n, n) = 1 C(n, m) + C(n, m+1) = C(n+1, m+1) (巴斯卡定律) 重複組合： 從 n 類不同的物件中，每次取一個，取後放回，取 m 次成為一組，稱為重複組合。 公式：C(n + m - 1, m) 常見的排列組合問題類型： 直線排列： 將物件排成一列。 環狀排列： 將物件排成一個圓圈。 公式：(n - 1)! 分堆問題： 將物件分成若干堆。 塗色問題： 將區域塗上不同的顏色。 捷徑問題： 在方格圖中走最短路徑。 學習方法建議： 理解原理： 掌握加法原理和乘法原理，並能靈活運用。 區分排列與組合： 判斷問題是排列問題還是組合問題，關鍵在於是否考慮順序。 熟記公式： 熟記排列和組合的公式，並能正確計算。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 畫圖輔助： 對於複雜的問題，可以畫圖輔助思考。 學習這個章節的重要性： 機率統計基礎： 排列組合是學習機率統計的基礎。 解決計數問題： 排列組合是解決計數問題的重要工具。 培養邏輯思維： 透過學習排列組合，可以培養邏輯思維能力。 應用於生活： 排列組合在日常生活中有廣泛應用，例如樂透彩中獎機率、密碼設定等。 一些具體例子： 樂透彩中獎機率： 可以用組合來計算。 密碼設定： 可以用排列或重複排列來計算密碼的組合數量。 排座位： 可以用排列來計算座位安排的方案數量。 撲克牌： 可以用排列組合來計算各種牌型的機率。