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主要內容： 數列 (Sequence)： 定義： 依照特定順序排列的一串數字。 項 (Term)： 數列中的每一個數字。 一般項 (General Term)： 用一個公式或規則 aₙ 表示數列中第 n 項的通式。 常見的數列類型： 等差數列 (Arithmetic Sequence)： 相鄰兩項的差為定值（公差）。 aₙ = a₁ + (n - 1)d，其中 a₁ 是首項，d 是公差。 等比數列 (Geometric Sequence)： 相鄰兩項的比為定值（公比）。 aₙ = a₁r^(n - 1)，其中 a₁ 是首項，r 是公比。 費氏數列 (Fibonacci Sequence)： 每一項都是前兩項的和。 a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (n ≥ 3)。 級數 (Series)： 定義： 將數列的各項依序相加所形成的式子。 符號： 使用 Σ (sigma) 符號表示級數。 例如：Σ(k=1 to n) aₖ = a₁ + a₂ + ... + aₙ 部分和 (Partial Sum)： 級數前 n 項的和，記作 Sₙ。 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ 等差級數 (Arithmetic Series)： 等差數列的級數。 Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 = n[2a₁ + (n - 1)d] / 2 等比級數 (Geometric Series)： 等比數列的級數。 Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)，其中 r ≠ 1 無窮級數 (Infinite Series)： 無限多項的級數。 收斂 (Convergent)： 無窮級數的和趨近於一個有限值。 發散 (Divergent)： 無窮級數的和不趨近於一個有限值。 無窮等比級數 (Infinite Geometric Series)： 當 |r| < 1 時，無窮等比級數收斂，且和為 S = a₁ / (1 - r)。 數學歸納法 (Mathematical Induction)： 原理： 用於證明與正整數有關的命題。 步驟： 基礎步驟 (Base Case)： 證明當 n = 1 (或某個起始值) 時，命題成立。 歸納假設 (Inductive Hypothesis)： 假設當 n = k 時，命題成立。 歸納步驟 (Inductive Step)： 證明當 n = k + 1 時，命題也成立。 應用： 證明數列的一般項公式、級數的和公式等。 學習方法建議： 理解定義： 掌握數列和級數的定義，以及各種術語的含義。 熟練公式： 熟記等差數列、等比數列的公式，以及等差級數、等比級數的和公式。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 善用數學歸納法： 掌握數學歸納法的原理和步驟，並能應用於證明相關命題。 學習這個章節的重要性： 培養觀察力： 透過觀察數列的規律，培養觀察能力和歸納能力。 訓練邏輯思維： 學習數列和級數的相關知識，可以訓練邏輯思維能力。 應用於其他領域： 數列和級數的知識可以應用於其他領域，例如金融、物理等。 一些具體例子： 複利計算： 可以用等比數列來描述。 人口增長： 如果人口以固定的百分比增長，可以用等比數列來描述。 程式設計： 數列和級數的概念在程式設計中也有廣泛應用。