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主要內容： 基本概念： 隨機試驗 (Random Experiment)： 在相同條件下重複進行，結果具有隨機性的試驗。 樣本空間 (Sample Space)： 隨機試驗所有可能結果的集合，通常用 S 或 Ω 表示。 事件 (Event)： 樣本空間的子集，表示某些特定結果的集合。 基本事件 (Elementary Event)： 只包含一個樣本點的事件。 空事件 (Null Event)： 不包含任何樣本點的事件，記作 ∅。 確定事件 (Certain Event)： 包含整個樣本空間的事件，即樣本空間 S 本身。 事件的運算： 聯集 (Union)： A ∪ B，表示 A 和 B 至少有一個發生的事件。 交集 (Intersection)： A ∩ B，表示 A 和 B 同時發生的事件。 差集 (Difference)： A - B，表示 A 發生但 B 不發生的事件。 互斥事件 (Mutually Exclusive Events)： A ∩ B = ∅，表示 A 和 B 不可能同時發生。 餘事件 (Complementary Event)： A' 或 Aᶜ，表示 A 不發生的事件，A' = S - A。 機率的定義： 古典機率 (Classical Probability)： 適用於樣本空間中所有基本事件發生的可能性都相等的情況。 P(A) = 事件 A 包含的基本事件個數 / 樣本空間 S 包含的基本事件個數 客觀機率 (Frequentist Probability)： 透過大量重複試驗，觀察事件發生的頻率來估計機率。 P(A) ≈ 事件 A 發生的次數 / 試驗總次數 主觀機率 (Subjective Probability)： 個人根據經驗、知識或信念對事件發生的可能性做出的判斷。 機率的公理化定義： 0 ≤ P(A) ≤ 1，對於任意事件 A。 P(S) = 1，樣本空間的機率為 1。 若 A 和 B 是互斥事件，則 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。 機率的性質： P(∅) = 0，空事件的機率為 0。 P(A') = 1 - P(A)，餘事件的機率。 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)，加法公式。 若 A ⊆ B，則 P(A) ≤ P(B)。 條件機率 (Conditional Probability)： 定義： 在事件 B 發生的前提下，事件 A 發生的機率，記作 P(A|B)。 公式： P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)，其中 P(B) > 0。 獨立事件 (Independent Events)： 定義： 事件 A 的發生不影響事件 B 發生的機率，反之亦然。 條件： P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 或 P(A ∩ B) = P(A)P(B)。 貝氏定理 (Bayes' Theorem)： 公式： P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B) 應用： 在已知某些條件下，推斷事件發生的機率。 學習方法建議： 理解概念： 掌握機率的基本概念和定義，例如樣本空間、事件、機率等。 區分事件類型： 判斷事件是否互斥、獨立等，有助於選擇正確的公式。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 聯繫生活： 將機率知識與生活中的實際例子聯繫起來，加深理解。 學習這個章節的重要性： 分析隨機現象： 機率可以幫助我們分析隨機現象的規律。 做出決策： 在不確定情況下，機率可以幫助我們做出更合理的決策。 理解統計推論： 機率是統計推論的基礎。 應用於各領域： 機率廣泛應用於科學、工程、金融、醫學等領域。 一些具體例子： 天氣預報： 預報降雨機率。 彩券中獎機率： 計算購買彩券中獎的機率。 醫學診斷： 評估某種疾病的患病機率。 投資決策： 評估投資風險和回報。