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主要內容： 平面的方程式： 點法式 (Point-Normal Form)： 描述：知道平面上的一點 P₀(x₀, y₀, z₀) 和法向量 n = (A, B, C)。 方程式：A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0 幾何意義：平面上的任一點 P(x, y, z) 與 P₀ 的連線向量 P₀P 垂直於法向量 n。 一般式 (General Form)： 方程式：Ax + By + Cz + D = 0，其中 A, B, C, D 為常數。 幾何意義：(A, B, C) 是平面的法向量。 轉換：點法式可以展開得到一般式，一般式也可以轉換為點法式 (只要找到平面上的一點)。 截距式 (Intercept Form)： 方程式：x/a + y/b + z/c = 1，其中 a, b, c 分別是平面在 x, y, z 軸上的截距。 幾何意義：平面通過 (a, 0, 0)、(0, b, 0)、(0, 0, c) 三點。 三點式 (Three-Point Form)： 知道平面上不共線的三點 P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃)。 方程式：可以用行列式表示，也可以先求出兩個向量 P₁P₂ 和 P₁P₃，然後求出法向量 P₁P₂ × P₁P₃，再用點法式。 直線的方程式： 參數式 (Parametric Form)： 描述：知道直線上的一點 P₀(x₀, y₀, z₀) 和方向向量 v = (a, b, c)。 方程式： x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct，其中 t 為參數。 幾何意義：直線上的任一點 P(x, y, z) 都可以表示成 P₀ + tv 的形式。 比例式 (Symmetric Form or Direction Form)： 方程式：(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c 條件：a, b, c 都不為 0。 幾何意義：直線的方向向量是 (a, b, c)。 兩面式 (Two-Plane Form)： 描述：直線是兩個平面的交線。 方程式： A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 求解：可以聯立兩個平面方程式，解出 x, y, z 之間的關係，轉換為參數式或比例式。 平面與直線的關係： 兩平面的關係： 平行 (Parallel)： 法向量平行 (A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂)，且 D₁/D₂ ≠ A₁/A₂。 重合 (Coincident)： 法向量平行，且 D₁/D₂ = A₁/A₂。 相交 (Intersecting)： 法向量不平行，交線為直線。 垂直 (Perpendicular)： 法向量內積為 0 (A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0)。 直線與平面的關係： 平行 (Parallel)： 直線的方向向量與平面的法向量垂直 (Aa + Bb + Cc = 0)，且直線不在平面上。 包含 (Contained)： 直線的方向向量與平面的法向量垂直 (Aa + Bb + Cc = 0)，且直線在平面上 (直線上一點滿足平面方程式)。 相交 (Intersecting)： 直線的方向向量與平面的法向量不垂直，交點可以通過解聯立方程式求出。 垂直 (Perpendicular)： 直線的方向向量與平面的法向量平行。 兩直線的關係： 平行 (Parallel)： 方向向量平行 (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂)，且不在同一平面上。 重合 (Coincident)： 方向向量平行，且在同一平面上。 相交 (Intersecting)： 不平行，且在同一平面上，交點可以通過解聯立方程式求出。 歪斜 (Skew)： 不平行，且不在同一平面上。 距離： 點到平面的距離： 公式：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) 其中 P₀(x₀, y₀, z₀) 為點的坐標，Ax + By + Cz + D = 0 為平面的一般式。 點到直線的距離： 先在直線上任取一點 P₀，然後求出向量 P₀P (P 為已知點)，再求出 P₀P 在直線方向向量 v 上的投影向量，則點到直線的距離等於 P₀P 的長度減去投影向量的長度。 兩平行平面的距離： 在一個平面上任取一點，然後求出該點到另一個平面的距離。 兩平行直線的距離： 在一個直線上任取一點，然後求出該點到另