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主要內容： 空間向量的基本概念： 空間向量 (Space Vector)： 在三維空間中，同時具有大小和方向的量。 坐標表示法： 在空間直角坐標系中，用有序三元組 (a, b, c) 表示，其中 a 為 x 分量，b 為 y 分量，c 為 z 分量。 向量的大小 (Magnitude)： 向量的長度，也稱為模 (Modulus)，記作 |v| 或 ||v||。 若 v = (a, b, c)，則 |v| = √(a² + b² + c²) 單位向量 (Unit Vector)： 大小為 1 的向量。 零向量 (Zero Vector)： 大小為 0 的向量，方向任意，記作 0 或 (0, 0, 0)。 平行向量 (Parallel Vectors)： 方向相同或相反的向量。 相等向量 (Equal Vectors)： 大小相等且方向相同的向量。 反向量 (Opposite Vector)： 大小相等但方向相反的向量。 方向角與方向餘弦： 方向角：空間向量與 x 軸、y 軸、z 軸正向的夾角，分別記作 α, β, γ。 方向餘弦：方向角的餘弦值，即 cos α, cos β, cos γ。 性質：cos² α + cos² β + cos² γ = 1 空間向量的運算： 向量加法 (Vector Addition)： 坐標表示：若 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，則 a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃) 向量減法 (Vector Subtraction)： 坐標表示：若 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，則 a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃) 純量乘法 (Scalar Multiplication)： 坐標表示：若 a = (a₁, a₂, a₃)，k 為純量，則 ka = (ka₁, ka₂, ka₃) 內積 (Dot Product)： 幾何意義：a · b = |a| |b| cos θ，其中 θ 為 a 和 b 的夾角。 坐標表示：若 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，則 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ 性質： a · b = b · a a · (b + c) = a · b + a · c (ka) · b = k(a · b) a · a = |a|² 若 a, b 皆為非零向量，且 a · b = 0，則 a ⊥ b (a 垂直於 b) 外積 (Cross Product)： 幾何意義：a × b 的大小等於以 a 和 b 為鄰邊的平行四邊形的面積，方向垂直於 a 和 b 所在的平面，且 a, b, a × b 構成右手系。 坐標表示：若 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，則 a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁) 性質： a × b = - (b × a) a × (b + c) = a × b + a × c (ka) × b = k(a × b) 若 a, b 皆為非零向量，且 a × b = 0，則 a // b (a 平行於 b) 空間中的直線與平面： 直線的表示： 參數式： 過點 P₀(x₀, y₀, z₀)，方向向量為 v = (a, b, c) 的直線的參數式為： x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct，其中 t 為參數 比例式： (x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c 平面的表示： 點法式： 過點 P₀(x₀, y₀, z₀)，法向量為 n = (A, B, C) 的平面的方程式為： A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0 一般式： Ax + By + Cz + D = 0，其中 A, B, C 為常數，(A, B, C) 為平面的法向量。 直線與平面的關係： 平行：直線的方向向量與平面的法向量垂直。 垂直：直線的方向向量與平面的法向量平行。 相交：直線與平面有唯一的交點。 包含：直線上的所有點都在平面上。 學習方法建議： 理解概念： 掌握空間向量的基本概念和定義，例如坐標表示、大小、方向等。 熟練運算： 熟記空間向量的加法、減法、純量乘法、內積、外積等運算規則，並能靈活運用。 圖形結合： 培養空間想像力，盡可能將向量和幾何圖形聯繫起來。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 應用於物理： 將空間向量知識應用於物理問題，例如力、速度、電場等。 學習這個章節的重要性： 幾何基礎： 空間向量是研究立體幾何的重要工具。 代數方法： 空間向量提供了一種用代數方法解決立體幾何問題的途徑。 物理應用： 空間向量廣泛應用於物理學中，例如力學、電磁學等。 工程應用： 空間向量也廣泛應用於工程學中，例如結構分析、機械設計等。