高中數學-複數

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建立於 2025年04月24日

主要內容： 複數的定義與基本概念： 虛數單位 (Imaginary Unit)： i = √(-1)，i² = -1。 複數 (Complex Number)： 形如 a + bi 的數，其中 a 和 b 都是實數，i 是虛數單位。 a 稱為實部 (Real Part)，記作 Re(z)。 b 稱為虛部 (Imaginary Part)，記作 Im(z)。 實數 (Real Number)： 虛部為 0 的複數 (b = 0)，即 a + 0i = a。 純虛數 (Purely Imaginary Number)： 實部為 0 的複數 (a = 0)，即 0 + bi = bi (b ≠ 0)。 相等複數 (Equal Complex Numbers)： 兩個複數 a + bi 和 c + di 相等，若且唯若 a = c 且 b = d。 複數的運算： 加法 (Addition)： (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 減法 (Subtraction)： (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 乘法 (Multiplication)： (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 除法 (Division)： (a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²) (c + di ≠ 0) 先將分母實數化 (乘以共軛複數)。 共軛複數 (Complex Conjugate)： 複數 a + bi 的共軛複數為 a - bi，記作 。 z * = a² + b² (實數) 複數平面 (Complex Plane)： 直角坐標表示 (Cartesian Form)： 將複數 a + bi 表示為平面上的點 (a, b)。 a 為 x 軸 (實軸)，b 為 y 軸 (虛軸)。 極坐標表示 (Polar Form)： 將複數 z = a + bi 表示為： z = r(cos θ + i sin θ) = r * cis θ r 為複數 z 的模 (絕對值)，r = |z| = √(a² + b²) θ 為複數 z 的幅角 (Argument)，tan θ = b/a 主幅角 (Principal Argument)：通常取 -π < θ ≤ π 棣美弗定理 (De Moivre's Theorem)： [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) 可以用於計算複數的乘方和開方。 複數的幾何意義： 複數加法： 向量加法。 複數減法： 向量減法。 複數乘法： 旋轉和伸縮。 複數與多項式方程式： 代數基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)： n 次多項式方程式在複數域中有 n 個根 (計入重根)。 實係數多項式方程式的虛根成對出現： 若 a + bi (b ≠ 0) 是實係數多項式方程式的根，則 a - bi 也是根。 學習方法建議： 理解定義： 掌握複數的基本概念和術語，例如虛數單位、實部、虛部、共軛複數等。 熟練運算： 熟記複數的加法、減法、乘法、除法等運算規則，並能靈活運用。 複數平面： 理解複數在複數平面上的表示，以及極坐標和棣美弗定理。 幾何意義： 理解複數運算的幾何意義，例如加法是向量加法，乘法是旋轉和伸縮。 多做練習： 透過大量的練習，熟悉各種題型和解題技巧。 學習這個章節的重要性： 數系擴展： 複數擴展了數的概念，解決了實數無法解決的問題 (例如負數的平方根)。 數學工具： 複數是解決許多數學問題的工具，例如解多項式方程式、計算三角函數等。 應用廣泛： 複數廣泛應用於物理、工程、電子學等領域，例如交流電路分析、量子力學等。