高中數學 - 聯立方程式

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建立於 2025年04月24日

主要內容： 二元一次聯立方程式 (System of Two Linear Equations)： 定義： 由兩個包含兩個未知數 (通常是 x 和 y) 的一次方程式組成的系統。 一般形式： a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂ 其中 a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ 為常數。 解的類型： 唯一解： 兩條直線相交於一點，系統有唯一的 x 和 y 的值滿足兩個方程式。 無解： 兩條直線平行且不重合，系統沒有任何 x 和 y 的值同時滿足兩個方程式。 無限多組解： 兩條直線重合，系統的兩個方程式本質上是同一個方程式，有無數個 x 和 y 的值滿足。 解法： 代入消去法 (Substitution Method)： 從其中一個方程式解出一個未知數，然後代入另一個方程式，消去一個未知數，得到一個一元一次方程式，解出其中一個未知數後，再代回求另一個未知數。 加減消去法 (Elimination Method)： 將兩個方程式乘以適當的常數，使得其中一個未知數的係數相同或相反，然後將兩個方程式相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程式，解出其中一個未知數後，再代回求另一個未知數。 克拉瑪公式 (Cramer's Rule)： 使用行列式來求解線性方程組。 (註: 克拉瑪公式在高中階段不一定會教，但可以用來解二元一次聯立方程式) 若 D = a₁b₂ - a₂b₁ ≠ 0，則 x = (c₁b₂ - c₂b₁) / D y = (a₁c₂ - a₂c₁) / D 應用： 解決實際問題，例如雞兔同籠、行程問題、濃度問題等。 三元一次聯立方程式 (System of Three Linear Equations)： 定義： 由三個包含三個未知數 (通常是 x、y 和 z) 的一次方程式組成的系統。 一般形式： a₁x + b₁y + c₁z = d₁ a₂x + b₂y + c₂z = d₂ a₃x + b₃y + c₃z = d₃ 其中 a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃ 為常數。 解的類型： 唯一解： 三個平面相交於一點。 無解： 三個平面互相平行，或其中兩個平面平行，或者三個平面相交於一條直線，但沒有共同的交點。 無限多組解： 三個平面重合，或三個平面相交於同一條直線。 解法： 消去法： 先選取兩個方程式，消去其中一個未知數，得到一個二元一次方程式，再選取另外兩個方程式 (其中一個可以是之前用過的)，消去同一個未知數，也得到一個二元一次方程式，然後解這兩個二元一次聯立方程式，得到兩個未知數的值，最後代回求第三個未知數。 克拉瑪公式 (Cramer's Rule)： 可以使用行列式來求解，但計算較為複雜。 (註: 在高中階段不一定會教，且三元一次的行列式計算較繁瑣) 應用： 解決更複雜的實際問題，例如多個變數的資源分配問題。 學習方法建議： 理解概念： 掌握聯立方程式的定義、類型和解的意義。 熟練解法： 熟練掌握代入消去法和加減消去法，並能根據題目選擇合適的方法。 驗算： 養成驗算的習慣，將解代回原方程式，確認是否正確。 應用： 多練習應用問題，將聯立方程式應用於解決實際問題。 學習這個章節的重要性： 代數基礎： 聯立方程式是代數的重要組成部分。 解決問題： 聯立方程式是解決許多數學問題和實際問題的工具。 後續學習： 聯立方程式的知識是學習線性代數、微積分等高等數學的基礎。 高中聯立方程式的重點： 熟練掌握二元一次聯立方程式的解法和應用。 了解三元一次聯立方程式的解法，能解決簡單的三元一次聯立方程式。