(高中物理)克卜勒行星運動定律

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建立於 2020年09月18日

克卜勒行星運動定律是什麼？ 克卜勒行星運動定律是描述行星繞太陽運動的三個定律，由德國天文學家約翰尼斯·克卜勒 (Johannes Kepler) 在 17 世紀初根據丹麥天文學家第谷·布拉赫 (Tycho Brahe) 大量精確的天文觀測數據總結出來的。這三個定律是： 軌道定律（Law of Orbits）：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽位於橢圓的一個焦點上。 面積定律（Law of Areas）：在相同的時間間隔內，行星與太陽連線掃過的面積相等。 週期定律（Law of Periods）：行星繞太陽公轉週期的平方，與其橢圓軌道半長軸的立方成正比。 詳細解釋 讓我們更詳細地了解每個定律： 軌道定律（橢圓軌道） 重點： 行星的軌道不是完美的圓形，而是橢圓形。 太陽不在橢圓的中心，而是在橢圓的兩個焦點中的一個。 橢圓的描述： 半長軸 (a)：橢圓最長軸的一半，從橢圓中心到最遠點的距離。 半短軸 (b)：橢圓最短軸的一半，從橢圓中心到最近點的距離。 焦點 (F)：橢圓上有兩個焦點，行星繞太陽運動時，太陽位於其中一個焦點上。 近日點 (Perihelion)：行星軌道上距離太陽最近的點。 遠日點 (Aphelion)：行星軌道上距離太陽最遠的點。 離心率 (e)：描述橢圓扁平程度的量，定義為焦點到中心點的距離與半長軸的比值 (e = c/a，其中 c 是焦點到中心點的距離)。 e = 0：橢圓變成圓形。 0 < e < 1：橢圓。 e 越大，橢圓越扁。 意義：打破了認為行星軌道是完美圓形的傳統觀念，為牛頓萬有引力定律的發現奠定了基礎。 面積定律（等面積速率） 重點：行星在軌道上運動的速度是不恆定的。 描述： 行星在近日點時速度最快，在遠日點時速度最慢。 行星與太陽連線在單位時間內掃過的面積（稱為面積速率）是一個常數。 數學表達：ΔA/Δt = 常數 (其中 ΔA 是在時間間隔 Δt 內掃過的面積)。 物理意義： 面積定律是角動量守恆的結果。行星在繞太陽運動時，其角動量保持不變。 由於角動量 L = r × p = r × mv，其中 r 是位置向量，p 是動量，v 是速度，所以當行星靠近太陽（r 變小）時，速度 v 必須變大，才能保持 L 不變。 應用：可以用於比較行星在不同位置的速度快慢。 週期定律（週期與半長軸的關係） 重點：不同行星的公轉週期和軌道大小之間存在定量關係。 描述：行星繞太陽公轉週期的平方 (T²) 與其橢圓軌道半長軸的立方 (a³) 成正比。 數學表達：T² ∝ a³ 或者 T²/a³ = 常數 (對於繞同一中心天體運行的所有行星，這個常數相同)。 牛頓的推廣：牛頓將克卜勒週期定律推廣為： T² = (4π²/GM) a³ 其中： T 是公轉週期 a 是半長軸 G 是萬有引力常數 M 是中心天體的質量（例如，太陽的質量） 意義： 可以用於計算行星的公轉週期或軌道半長軸。 提供了測量中心天體質量的方法。 將克卜勒定律與萬有引力定律聯繫起來。 總結 克卜勒第一定律：行星軌道是橢圓，太陽位於一個焦點。 克卜勒第二定律：等面積定律（角動量守恆）。 克卜勒第三定律：週期定律 (T² ∝ a³)。 重要提醒 克卜勒定律是經驗定律，是根據觀測數據總結出來的，並沒有解釋為什麼行星會這樣運動。 牛頓萬有引力定律從理論上解釋了克卜勒定律，證明了這些定律是萬有引力作用的結果。 在高中物理中，通常會對克卜勒定律進行簡化，例如假設行星的軌道是圓形，以便於計算。 克卜勒定律不僅適用於行星繞太陽的運動，也適用於衛星繞行星的運動，以及其他天體在引力作用下的運動。