(高中物理)圓周運動與重力定律

【站僕】摩檸Morning.

建立於 2020年09月21日

一、圓周運動回顧 定義：物體沿圓形軌道運動的運動。 描述圓周運動的物理量： 線速度 (v)：物體沿圓周運動的瞬時速度，方向沿圓周的切線方向。 角速度 (ω)：物體繞圓心轉動的快慢，單位是弧度/秒 (rad/s)。 週期 (T)：物體繞圓周運動一周所需要的時間，單位是秒 (s)。 頻率 (f)：單位時間內物體繞圓周運動的圈數，單位是赫茲 (Hz)。f = 1/T 向心加速度 (a_c)：描述速度方向變化快慢的物理量，方向始終指向圓心。 向心力 (F_c)：使物體產生向心加速度的力，方向始終指向圓心。 圓周運動的分類： 勻速圓周運動：線速度的大小不變，但方向時刻改變，所以是變速運動。 變速圓周運動：線速度的大小和方向都改變。 基本關係式： v = rω （線速度與角速度的關係） ω = 2π/T = 2πf （角速度與週期、頻率的關係） a_c = v²/r = ω²r （向心加速度） F_c = ma_c = mv²/r = mω²r （向心力） 二、萬有引力定律回顧 內容：任何兩個質點之間都存在相互吸引的力，這個力的大小與它們質量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。 公式：F = Gm₁m₂/r² F：萬有引力 (N) G：萬有引力常數，G ≈ 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² m₁、m₂：兩個質點的質量 (kg) r：兩個質點之間的距離 (m) 三、圓周運動與萬有引力定律的結合 在天體運動中，行星繞太陽運動、衛星繞行星運動，都近似看作圓周運動。萬有引力提供了天體做圓周運動的向心力。 基本思路： 萬有引力 = 向心力 F = Gm₁m₂/r² = mv²/r = mω²r = m(2π/T)²r 天體運動的應用： 行星繞太陽運動： 太陽質量：M 行星質量：m 行星軌道半徑：r GmM/r² = mv²/r = mω²r = m(2π/T)²r 衛星繞行星運動： 行星質量：M 衛星質量：m 衛星軌道半徑：r GMm/r² = mv²/r = mω²r = m(2π/T)²r 重要結論： 軌道半徑、速度和週期之間的關係： v = √(GM/r) (速度與軌道半徑的關係) T = √(4π²r³/GM) (週期與軌道半徑的關係) T² ∝ r³ (克卜勒第三定律，週期平方與軌道半徑立方成正比) 中心天體的質量： M = 4π²r³/(GT²) (可以通過測量衛星的軌道半徑和週期來計算中心天體的質量) 第一宇宙速度 (v₁)： 第一宇宙速度是指物體在地球表面附近繞地球做圓周運動的速度，也是發射衛星的最小速度。 v₁ = √(GM/R) = √(gR) ≈ 7.9 km/s (其中 R 是地球半徑，g 是地球表面的重力加速度) 同步衛星: 週期與地球自轉週期相同，始終在地球的同一地點上空。 離地高度是固定的。 四、解題步驟 明確研究對象：確定你要分析的天體（行星或衛星）。 分析受力情況：天體只受到萬有引力的作用，萬有引力提供向心力。 列出方程：根據萬有引力等於向心力，列出方程：GmM/r² = mv²/r = mω²r = m(2π/T)²r 求解未知量：根據題目條件，求解未知量，例如速度、週期、軌道半徑、中心天體的質量等。 五、典型題型 已知軌道半徑和週期，求中心天體的質量。 已知中心天體的質量和軌道半徑，求衛星的速度和週期。 比較不同軌道上的衛星的速度和週期。 計算發射衛星所需的最小速度（第一宇宙速度）。 分析地球同步衛星的特點。 變軌問題: 衛星由於某種原因，軌道發生變化。 六、注意事項 萬有引力定律只適用於質點：在計算天體之間的引力時，可以將天體看作質點，質量集中在球心。 軌道半徑是指圓心之間的距離：在計算萬有引力時，r 是指兩個天體質心之間的距離。 注意單位統一：質量用 kg，距離用 m，時間用 s。 近似處理：在某些情況下，可以將天體的運動近似看作勻速圓周運動，簡化計算。 理解第一宇宙速度的意義：它是發射衛星的最小速度，也是近地衛星的速度。 七、總結 將圓周運動與萬有引力定律結合起來，可以解決許多關於天體運動的問題。理解萬有引力提供向心力的原理，掌握基本公式，熟練運用解題步驟，是解決這類問題的關鍵。