115年 - [無官方正解]115-1 國立屏科實驗高級中等學校_教師甄選：高中數學科#138645

九、已知複數z滿足zⁿ+z⁻ⁿ+2=0，其中n為正整數，將z用極式表示為r(cosθ+isinθ)，且r＞0。試選出正確的選項。(A) r=1(B) n不能是偶數(C) 對給定的n，恰有2n個不同的複數z滿足題設(D) θ可能是3π/7
(E) θ可能是4π/7
以上為(106指考數甲)的題目，請給出正確答案並針對每一個選項解釋其作法。（10分，計算過程請詳述）

一、設函數f(x)=，請使用兩種不同的方法去求函數f(x)的最小值及此時x的值為何？（8分，計算過程請詳述）

二、已知數列{aₙ}滿足a₁=，aₙ₊₁=，求a₁+a₂+⋯+aₙ。（6分，計算過程請詳述）

（一）∠A的大小為何？（3分，計算過程請詳述）

（二）若a=3，求△ABC的周長l的取值範圍為何？（5分，計算過程請詳述）

（一）空間中與y軸平行的直線，在畫布上的消失點為(0,15)

（二）空間中與z軸平行的直線，在畫布上都與y軸平行
若點(0,0,0)、(3,4,0)、(3,0,3)繪在畫布上分別為(0,0)、(,2)、(3,3)，則點(3,4,3)繪在畫布上的y坐標為____。（化為最簡分數）（8分，計算過程請詳述）

五、求極限[1⁹+2⁹+3⁹+⋯+(2n)⁹]=____。（8分，計算過程請詳述）

六、已知點A(a,b)在圖形y=（）x³-3x²+10x-7上，若直線L為以A點為切點的切線，且直線L和兩坐標軸可圍成一個等腰三角形，試求(a,b)=____。（8分，計算過程請詳述）

七、在區間[0,2π]中，函數y=f(x)=sin(2π·sin(x))與x軸共有m個交點，其中有n個交點與x軸相切，試求(m,n)=____。（8分，計算過程請詳述）

八、設空間有四個平面E₁: x+y+z=0、E₂: x+y+z=3、E₃: x+y+z=9及E₄: x+y-z=0，若E₄上有一正三角形ABC，而A、B、C分別也在E₁、E₂、E₃上，試求正三角形ABC的面積為____。（8分，計算過程請詳述）

（一）身為教師的你想要對學生示範利用AI本身來改善Gemini原先繁瑣的步驟，請就你本身對使用AI工具的經驗，寫出可以對AI改善的指令或是方式。(5分)

（二）在AI引入的世代下，你認為第一線的教師應該做哪些改變？(5分)

十一、國立屏科實中自設校以來便積極推動老師指導學生參加各項競賽，尤其今年學生首次參加2026台灣國際科學展覽會即獲得「行為與社會科學科」三等獎及「地球與環境科學科」四等獎的殊榮。作為一名數學老師，你覺得指導學生做科展應該有什麼樣的步驟，又該注意那些事情，請以條列的方式說明之。(8分)

十二、教育部去年公布「社會情緒學習（SEL）」中長程計畫，若學校內欲推動SEL，請說明你會如何將社會情緒學習的理念，實質運用在日常的數學課堂教學中？請簡述社會情緒學習的概念，並舉出一個具體的實踐策略。(10分)