(f) If $Xn \to X$ in probability, then $Xn \to X$ almost surely.

2. A sequence of random variables $\{X_n, n \ge 1\}$ is called uniformly integrable if for every $\varepsilon > 0$, there corresponds a $\delta > 0$ such that $$\sup{n \ge 1} \intA |X_n| \, dP < \varepsilon,$$ whenever $P(A) < \delta$, and, in addition, $$\sup{n \ge 1} E|Xn| < \infty.$$ Show that if $\{Xn, n \ge 1\}$ is uniformly integrable, then $\{Sn/n, n \ge 1\}$ is also uniformly integrable, where $Sn = \sum{i=1}^n X_i$. (20%)

3. Let $X$ and $Y$ be random variables and $\{X_n, n \ge 1\}$ be a sequence of random variables. Define $$\rho(X) = E\left(\frac{|X|}{1+|X|}\right).$$ Show that (a) $\rho(X + Y) \le \rho(X) + \rho(Y)$, (5%)

(b) $\rho(\sigma X) \le \max\{|\sigma|, 1\}\rho(X)$, where $\sigma$ is a real number, (5%)

(c) $\lim{n \to \infty} \rho(Xn - X) = 0$ if and only if $X_n \to X$ in probability. (15%)

4. Let $X1, X2, \dots$ be independent identically distributed random variables with mean 0, variance 1, and $EX_1^4 < \infty$. Find the limiting distribution of $$Zn = \sqrt{n} \frac{X1 X2 + X3 X4 + \dots + X{2n-1} X{2n}}{X1^2 + X2^2 + \dots + X{2n}^2}. \quad (25\%)$$

110年 - [非官方正解]110 國立中山大學碩士暨碩士專班招生考試_通訊所碩士班/甲組:機率#105733

109年 - 109 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_通訊工程學系：機率#147256

108年 - 108 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_統計學系日間學士班3年級：機率論#147618

108年 - 108 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_通訊工程學系：機率#147249

107年 - 107 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_通訊工程學系：機率#147251

105年 - [非官方正解]105 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_通訊工程學系：機率#147247

98年 - 98 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所：機率論#147988

96年 - 96 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所：機率論#147982