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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 104年 - 104 國家安全情報特種考試_三等_電子組：工程數學#34470
104年 - 104 國家安全情報特種考試_三等_電子組：工程數學#34470
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
104年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
4
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 若一曲線 C 的位置函數為 F(t) = (cos(t) + tsin(t)) + (sin(t) − tcos(t))
j
+
t
2
k
，其中t > 0，其速率為何？ (A)tcos(t)
i
− tsin(t)
j
+ 4t
k
(B)tcos(t)
i
+ tsin(t)
j
+ 4t
k
(C)
(D) 17t
2
2 令向量函數F = [−y, x]，曲線 C 為從(1, 0) 到(−1, 0) 的半圓，則線積分
之值為何？ (A)3π /2 (B)π (C)3π/ 4 (D) 2π/ 3
3 若u =x
2
y ，∇
2
u 等於： (A) y (B) 2y (C) 2xy (D) 2x
4 曲線 C 的參數表示式為 x = cos(t) ； y = sin(t) ； z = t ，則曲線 C 從 P1=(1, 0, 0) 到 P2 = ( −1, 0, π) 弧線長（arc length）為何？ (A)
(B) 2π (C)
(D)(1+π
2
)
3/2
-1
5 當矩陣
，求 A 之特徵值為多少？ (A) 2, 3 (B) − 2, 3 (C) − 2, −3 (D) 2, −3
6 設矩陣
，則A
3
-2A
2
-A 為何？ (A) 0 (B) 2A (C)3A (D)− 3A
7 當有一矩陣
時，試求 A 矩陣的行列式值為何？ (A) 67 (B) 84 (C) 86 (D) 90
8 複變函數
在 z = 2i 的留數（residue）為何？其中
。 (A)
cosh(1) (B)
sinh(1) (C)cosh(1) (D)sinh(1)
9 假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周│ z − 2│ = 2 ，試求積分
為何？ (A)πi (B) 0 (C) − πi (D) 2πi
10 計算 (1+ i)
3
的值為何？ (A) i
3
−3i
2
+3t-1 (B) i
3
+ (C)2i − 2 (D)2i + 4
11 下列何者為一維擴散方程式
之解的函數？其中 c 為一適當的常數。 (A)u = sin2t cos4x (B)u= e
t
cos25 x (C)u = cos4tsin2x (D)u =e
-1
sin x
12 請問下列何者為(1+ x)y′′ − 4xy′ + y = 0 之奇點（singular point）？ (A) 0 (B) −1 (C) 1 (D)− 2
13 已知
，求 f (t) 的傅立葉積分表示法。 (A)
(B)
(C)
(D)
14 當 m ≠ n 時，下列有關三角正弦與餘弦函數的正交特質（orthogonality），何者錯誤？ (A)
(B)
π (C)
(D)
15 一微分方程式(1-x
2
) y′′ −2 xy′ + n( n +1) y =0 被稱為勒見德方程式（Legendre’s equation），其中 n 為實數，則下列何者不為該方程 式的解 P (x) n ？ (A) P0 (x) = 1(B) P
1
(x) = x (C)
(D)
16 求(1− t)u(1− t)之拉普拉斯轉換（Laplace transform），其中u(t) 為單位步階函數。 (A)
(B)
(C)
(D)
17 連續隨機變數 X 與 Y 之結合機率密度函數（joint probability density function）為
。已知 x > 0 ，試求條件期望值 E[Y
2
|
X = x] 。 (A)
(B)
(C)
(D)
18 有 1 打雞蛋（其中有 4 顆雞蛋並未煮熟），從中隨機取出 2 顆雞蛋，試問這 2 顆雞蛋為全熟之機率為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
19 假設從一般的 52 張撲克牌中連續抽取 3 張牌，且所抽取的每張牌都不放回。假設 D 表示第 1 張牌是紅色 A 的事件，E 表示第 2 張牌是 10 或是 J 的事件，F 表示第 3 張牌是大於 3 但是小於 7 的事件。請問事件 D
E
F 會發生的機率為何？ (A) 8/5525 (B) 12/5525 (C) 16/5525 (D) 24/5525
20 令
，下列何者為矩陣 A 的零空間（null space）基底向量（basis）？ (A)
(B)
(C)
(D)
申論題 (4)
【已刪除】一、試利用拉普拉斯轉換（Laplace transform）解微分方程式 y"+2 y'+4 y=7 e
-3t
， y(0) = y′ (0) =1，其中
。（15 分）
【已刪除】二、求下列聯立方程式：
之解。（10 分）
【已刪除】三、令 Z 為一標準常態分布隨機變數（standard normal random variable），其機率密度函數（probability density function）為
，試求隨機變數
之機率密度函數。（10 分）
【已刪除】四、令∑ 是以 (0,0,0) , (0,1,0) , (1,0,0) , (0,0,1) , (1,1,0) , (1,0,1) , (1,1,1) ,( 0,1,1) 為頂點之正立方體的表面，若
n
為∑ 之向 外單位法向量，且
F
=x
2
i
+ y
2
j
+ z
2
k
，求
。（15 分）
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(D) 17t2 
之值為何？
(A)3π /2 (B)π (C)3π/ 4 (D) 2π/ 3
(B) 2π (C) 
(D)(1+π 2 ) 3/2-1
，求 A 之特徵值為多少？
(A) 2, 3 (B) − 2, 3 (C) − 2, −3 (D) 2, −3
，則A3-2A2-A 為何？
(A) 0 (B) 2A (C)3A (D)− 3A
時，試求 A 矩陣的行列式值為何？
(A) 67 (B) 84 (C) 86 (D) 90
在 z = 2i 的留數（residue）為何？其中
。
(A)
cosh(1) (B) 
sinh(1) (C)cosh(1) (D)sinh(1) 
為何？
(A)πi (B) 0 (C) − πi (D) 2πi
之解的函數？其中 c 為一適當的常數。
(A)u = sin2t cos4x (B)u= et cos25 x (C)u = cos4tsin2x (D)u =e -1 sin x
，求 f (t) 的傅立葉積分表示法。
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(B) 
π (C) 
(D) 
(D) 
(B) 
(C) 
(D) 
。已知 x > 0 ，試求條件期望值 E[Y
(B) 
(C)
(D) 
E 
F 會發生的機率為何？
(A) 8/5525 (B) 12/5525 (C) 16/5525 (D) 24/5525
，下列何者為矩陣 A 的零空間（null space）基底向量（basis）？
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
。（15 分）
之解。（10 分）
，試求隨機變數 
之機率密度函數。（10 分）
。（15 分）