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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 105年 - 105 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#54545
105年 - 105 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#54545
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
105年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
4
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 假設 X 為連續型隨機變數，具有機率密度函數（density function） f
X
( x) = e
-2|x|
，試求 Y = 0.5 X
2
之平均值 E(Y)為何？ (A)1/4 (B)1/3 (C)1/2 (D)1
2 求 xy 平面上與正 x 軸夾角為 0.3π，長度為 3 的向量 F 為何？ (A)F = 3cos(0.3π)i+3sin(0.3π)j (B)F = 3sin(0.3π)i+3cos(0.3π)j (C)F = 3cos(0.3π)i－3sin(0.3π)j (D)F = 3sin(0.3π)i－3cos(0.3π)j
3 設 C 為一位在 y = 2 平面上以點(1, 2, 1)為中心，半徑為 4 的圓。則其曲率（curvature）為何？ (A)2 (B)
(C)4 (D)
4 求 ∫
C
xydx − y sin( x)dy 之值，其中 C 為 x(t ) = t
2
, y (t ) = t , －1≦t≦4：(A)410－0.5sin(16)+0.5sin(1) (B)410－0.5cos(16)+0.5cos(1)(C)410+0.5sin(16)－0.5sin(1) (D)410+0.5cos(16)－0.5cos(1)
5 有一矩陣
，求該矩陣之反矩陣為何？(A)
(B)
(C)
(D)
6 以下敘述何者正確？(A) A =
不為一正交（orthogonal）矩陣 (B) A =
則 rankA = 4 (C)A =
沒有反矩陣 (D)
有反矩陣
7 設 A 是一個 2 × 2 的實方陣，它的特徵值為 1, －1，則 A
37
＝？ (A)0 (B)I (C)－A (D)A
8 設 A 為 3 × 3 的矩陣，若 A 的行列式值 detA=－2，則 det(－3 A)之值為何？ (A)6 (B)－18 (C)54 (D)－54 1
9 求 z cos(
)在 z = 0 之留數（residue）之值為何？ (A)0.5 (B)－0.5 (C)2 (D)－2
10 令 f
1
(z)為一複數冪級數（complex power series）且其收斂半徑 R1 ≠ 0 ，已知 f
2
(z)、f
3
(z)、f
4
(z)分別為 f
1
(z) 經逐項一次微分、二次微分與積分所得之複數冪級數，且其收斂半徑依次為 R
2
, R
3
, R
4
，則下列敘述何者 正確？ (A)R
1
= R
2
= R
3
= R
4
(B)R
4
> R
1
> R
2
> R
3
(C)R
4
< R
1
< R
2
< R
3
(D)R
1
, R
2
, R
3
, R
4
無固定關係
11 假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周| z| = 2 ，試求積分
為何？ (A)0 (B)－πi (C)2πi (D)1
12 請計算
的反拉普拉斯轉換，求得 f (t ) =
= ？ (A)
(B)
(C)
(D)
13 試求微分方程式 y′′ − 4 y′ + 4 y =
之通解，其中
：（答案選項中 c
1
, c
2
為常數。） (A) y = (c
1
+ c
2
x)
e2 x
(B) y = (c
1
+ c
2
ln x)
e2 x
(C) y = (c
1
+ c
2
x + ln x)
e2 x
(D) y = (c
1
+ c
2
x + x ln x)
e2 x
14 定義傅立葉轉換為
，求出函數 f ( x ) = e
-|x|
的傅立葉轉換： (A)
(B)
(C)
(D)
15 下列何者為方程式
的解？ (A) u = f ( y + 2 x) + g ( y + x) (B) u = f ( y + 2 x) + g ( y − x) (C) u = f ( y − 2 x) + g ( y + x) (D) u = f ( y − 2 x) + g ( y − x)
16 令
，而 f (t ) = L
−1
( F ( s)) ，則
之值為何？ (A)0 (B)1 (C)∞ (D)不存在
17 下列何者為微分方程式
之通解？（答案選項中 c
1
, c
2
, c
3
, c4 為常數。）(A) y = c
1
+ c
2
xe
x / 3
+ c
3
x
2
e
x / 3
+ c
4
x
3
e
x / 3
(B) y = c
1
+ c
2
x + c
3
e
x / 3
+ c
4
xe
x / 3
(C) y = c
1
+ c
2
x + c
3
x
2
+ c
4
x
3
(D) y = c
1
+ c
2
x + c
3
x
2
+ c
4
e
x / 3
18 考慮一包含 5 個開關元件的系統，其中 2 個開關元件(C
1
, C
2
)並聯（parallel connection）後再與另 3 個開關 元件(C
3
, C
4
, C
5
)串聯（Serial connection），若該 5 個開關元件(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
, C
5
)導通的機率分別為 (
)，試求該系統導通之機率為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
19 自一副 52 張撲克牌中取出 4 張牌，試求取出之牌剛好皆為黑桃或皆為紅心花色（suit）之機率為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
20 若 F, G 兩向量正交，則以下敘述何者正確？ (A)F, G 的外積（Cross Product）為 0 (B)F, G 的內積（Inner Product）為 0 (C)F+G = 0 (D)||F+G || = 0
申論題 (4)
【已刪除】一、z 為複數，考慮一已知收斂之冪級數
，其中心為 z
0
= 1 − 2i ， 則其收斂半徑為何？（15 分）
【已刪除】二、設矩陣 A =
，求 A
49
。（15 分）
【已刪除】三、已知一函數為
，如下圖所示。若以半幅展開 f (x) 成 為傅立葉餘弦級數
的型式，試求出 a
0
及 a
n
。（10 分）
四、一平行立方體（parallelepiped）是由(1, 6, 1)到(－2, 4, 2)、(3, 0, 0)及(2, 2,－4)的三個 邊所建構而成，此平行立方體體積為何？（10 分）
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(C)4 (D)
，求該矩陣之反矩陣為何？(A)
(B)
(C)
(D)
不為一正交（orthogonal）矩陣 (B) A =
則 rankA = 4 (C)A =
沒有反矩陣 (D)
有反矩陣 
)在 z = 0 之留數（residue）之值為何？ (A)0.5 (B)－0.5 (C)2 (D)－2
為何？ (A)0 (B)－πi (C)2πi (D)1
的反拉普拉斯轉換，求得 f (t ) = 
= ？ (A) 
(B) 
(C) 
(D) 
之通解，其中 
：（答案選項中 c1, c2 為常數。） (A) y = (c1 + c2 x)e2 x (B) y = (c1 + c2 ln x)e2 x (C) y = (c1 + c2 x + ln x)e2 x (D) y = (c1 + c2 x + x ln x)e2 x 
，求出函數 f ( x ) = e -|x|的傅立葉轉換： (A) 
(B)
(C) 
(D) 
的解？ (A) u = f ( y + 2 x) + g ( y + x) (B) u = f ( y + 2 x) + g ( y − x) (C) u = f ( y − 2 x) + g ( y + x) (D) u = f ( y − 2 x) + g ( y − x) 
，而 f (t ) = L−1 ( F ( s)) ，則 
之值為何？ (A)0 (B)1 (C)∞ (D)不存在
之通解？（答案選項中 c1 , c2 , c3 , c4 為常數。）(A) y = c1 + c2 xe x / 3 + c3 x 2e x / 3 + c4 x3e x / 3 (B) y = c1 + c2 x + c3e x / 3 + c4 xe x / 3 (C) y = c1 + c2 x + c3 x 2 + c4 x3 (D) y = c1 + c2 x + c3 x 2 + c4e x / 3
)，試求該系統導通之機率為何？ (A) 
(B)
(C)
(D) 
(B) 
(C)
(D) 
，其中心為 z0 = 1 − 2i ， 則其收斂半徑為何？（15 分）
，求 A 49。（15 分）
，如下圖所示。若以半幅展開 f (x) 成 為傅立葉餘弦級數 
的型式，試求出 a0 及 an 。（10 分）