114年 - 114 國立高雄師範大學附屬高級中學_教師甄試試題：數學科#126485

1. 如下圖，等腰直角△ABC 中，  =  A 90 ，D 為的中點，四邊形 DEFG 為正方形，且點 F 為邊上。若 ，= 4，試求正方形 DEFG 的面積之值？

2. 設 z 是 1 的 7 次方根， z ≠1，試求z+z²+z⁴ = ？

3. 設 f (x) 為整係數多項式，假設 ，且 [f(x)+g(x)]=x⁴-4x²+x-7，求多項式 f (x) ？

4. 座標平面上，在以 O(0,0) ， P(0,2)，Q(1,2) ， R(1,0) 為頂點的矩形(含邊界 )，令  為滿足下述條 件的點 A(x ,y ) 所成的區域: 與點 A (x ,y ) 的距離為 │2x-y │之所有點所形成圖形完全落在矩形 OPQR (含邊界)內，試求區域 Ω 的面積。

5.有一邊長為 2 的正四面體 ABCD，設 A' 為 A 對平面 BCD 的對稱點， B' 為 B 對平面 ACD 的對稱 點，試求出四面體 A'CB'D的體積為何？

6. 重複操作一個成功機率為 p 的伯努力試驗，且 ，= 180，試求到第三次才出現第一次成功的機率

7. 設函數 f (x) =│log x│ ，若 a ≠b  ，且 ，求數對 (a ,b ) ?

(1)試證 f (x)  =0 在 0<x<2之間恰有一實根 t 。 

(2)三直線 x = 0， x = 2， y = 0 與曲線 y =f (x) 所圍成區域的面積為 S ，試以 t 表示。

(3)試求當 t 為多少時 S 有最小值，並求出 S 的最小值。 

9.若數列 ＜an  中每一項均為正數，設數列 之前項 n 的和為 。已知 ，試求 及 (皆以 n 的式子表示)。

10.在坐標平面上，已知 為三個非零向量，其中 ， 上的正射影長為 1 ，若， 試求的最大可能值。