115年 - 115 桃園市國民中學新進教師甄選試題：數學科#140719

51. 等差數列 $[a_n]$ 滿足 $a_1 = 5, a_{n+1} - a_n = \frac{2}{5} (n \geq 1)$。若所有奇數項的總和恰比所有偶數項的總和大 21，求此等差數列的項數？

(A)41
(B)61
(C)71
(D)81

52. 如圖，ABCD為正方形，點 $E$ 在邊 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BE} : \overline{EC} = 1 : 3$。連結 $\overline{AE}$，過點 $D$ 作 $\overline{DF} \perp \overline{AE}$，垂足為 $F$。若正方形邊長為 8，

求 $\overline{DF} \perp \overline{AE}$，求 $\overline{DF} = ?$

(A)$\frac{8\sqrt{17}}{17}$
(B)$\frac{16\sqrt{17}}{17}$
(C)$\frac{24\sqrt{17}}{17}$
(D)$\frac{32\sqrt{17}}{17}$

53. 設實數 $x \neq -1$ 滿足 $\frac{x + 1}{x^2 - 3x + 2026} + \frac{x}{x + 1} = 1$，求 $x$ 的值？

(A)403
(B)404
(C)405
(D)406

54. 已知 $x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$，$y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$，且某三角形的面積為 $2\sqrt{3}$ 平方公分，其中一底長為 $2\sqrt{2}$ 公分。若此底所對應的高為 $h$，求 $\frac{h}{x^2 - y^2} = ?$

(A)$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(B)1
(C)$\sqrt{3}$
(D)2

55. 某班舉辦數學測驗，全班每人都得到整數分數。老師發現：「平均分數是 78 分」、「去掉最高分後，平均變成 76 分」、「最高分是 96 分」。請問這個班共有多少人？

(A)8
(B)9
(C)10
(D)11

56. 設 $n$ 為自然數，試問：$10^n$ 除以 13 的餘數有幾種？

(A)4
(B)5
(C)6
(D)7

57. 數列 $\begin{cases} \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{1}{5}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{6}, \dots \end{cases}$，依此規律，試問：第 50 項是多少？

(A)$\frac{7}{5}$
(B)$\frac{5}{7}$
(C)$\frac{7}{6}$
(D)$\frac{6}{7}$

58. 將 $3^2 \times 4^{11} \times 5^{23}$ 乘間後是幾位數？

(A)21
(B)22
(C)23
(D)24

59. 解方程式 \(\sqrt{x + \sqrt{12x - 35}} + \sqrt{x - \sqrt{12x - 35}} = 7\) (A) \(x = \frac{2201}{148}\) (B) \(x = \frac{2241}{148}\) (C) \(x = \frac{2261}{148}\) (D) \(x = \frac{2281}{148}\)

60. $\sum_{k=1}^{10}[(2k + 1)(k - 3)] = ?$

(A)425
(B)445
(C)465
(D)485

61. 若 $(x^2 - 2x + 1)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_6x^6$，則 $a_1 + a_2 + \dots + a_6 = ?$

(A)-1
(B)0
(C)1
(D)2

62. 請問有多少個整數 $x$ 滿足不等式

$$
|x - 10| < |x + 10| < |x - 30|?
$$

(A)8
(B)9
(C)10
(D)11

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桃園市 115 年國民中學新進教師甄選【專業科目：數學科】試題卷

63. 介於 $\frac{1}{12}$ 與 $\frac{1}{13}$ 之間的有理數為 $\frac{k}{1092}$ 的最簡分數(分母固定為1092)有多少個？

(A)2
(B)3
(C)4
(D)5 個或 5 個以上

64. 設 $x$ 為正實數，滿足 $x^{2} - 3x - 1 = 0$，則

$x^{3} + x^{2} + x^{-2} - x^{-3}$ 之值為下列何者？

(A)39
(B)43
(C)47
(D)51

65. 某遊戲共有 210 位玩家，每位玩家均持有寶石，其中持有 1 顆的有 1 位，持有 2 顆的有 2 位，依此類推，持有 20 顆寶石的有 20 位。試問這些玩家每人持有寶石數量的第 90 百分位數為下列何者選項？

(A)16
(B)17
(C)19
(D)20

66. 從 1 到 20 的 20 個整數中，取出相異的三個數 $a$、$b$、$c$，使此三個數成為等比數列，且 $a < b < c$，則序對 $(a, b, c)$ 的取法有多少種？

(A)9
(B)10
(C)11
(D)12 種

67. 投擲一顆骰子，假設點數出現之機率與點數成比例，求出現點數為 3 或 6 的機率為何？

(A)$\frac{2}{7}$
(B)$\frac{3}{7}$
(C)$\frac{4}{7}$
(D)$\frac{5}{7}$

68. 設 $0 \leq \theta \leq 2\pi$，已知所有滿足 $\sin 2\theta > \sin \theta$ 且 $\cos 2\theta > \cos \theta$ 的 $\theta$ 可表示成 $a\pi < \theta < b\pi$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$，試問：$b - a$ 的值為何？

(A)$\frac{1}{4}$
(B)$\frac{1}{3}$
(C)$\frac{2}{3}$
(D)1

69. 試問有多少個實數 $x$ 滿足 $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin x + \sin \frac{\pi}{6}$ 且 $0 \leq x < 2\pi$?

(A)1
(B)2
(C)3
(D)4

70. $y = \tan (\pi x^{2})$ 的微分

(A)$2\pi \sec^2 x$
(B)$2\pi \sec (\pi x^{2})$
(C)$2\pi x \sec^2 (\pi x^2)$
(D)$2\pi \tan^2 (\pi x^2)$

72. 計算行列式 $\begin{vmatrix} 2024 & 2025 & 2026 \\ 2025 & 2026 & 2027 \\ 2026 & 2027 & 2029 \end{vmatrix}$ 之值？

(A)4048
(B)4049
(C)-1
(D)0

73. 已知實係數五次多項式 $f(x)$ 滿足 $f(i) = 0$ 且 $f(2 + 3i) = 0$，試問：函數 $y = f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸有幾個交點？

(A)0 個
(B)1 個
(C)2 個
(D)4 個

74. 設 $f(x, y) = x^{2}y^{3} + e^{x + y}$，試求 $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = ?$

(A)$2xy^{3} + e^{x + y}$
(B)$3x^{2}y^{2} + e^{x + y}$
(C)$6x^{2}y^{3} + e^{x + y}$
(D)$3x^{2}y^{2} + (x + y)e^{x + y}$

75. 將正整數從 1 開始依序按一定的規律置放於下圖的格子中。依照圖的排列規律，請問：9999 會排在第幾行？



(A)第 1 行
(B)第 2 行
(C)第 99 行
(D)第 100 行

76. 如圖(一)， $\Delta ABC$ 是一張等腰直角三角形的紙卡， $\angle ACB = 90^{\circ}$ ， $\overline{AC} = \overline{BC} = 2$ 。如圖(二)，若以 $\overline{AD}$ 為摺線($D$ 點在 $\overline{BC}$ 上)， $\overline{AB}$ 恰好與 $\overline{AC}$ 重合，此時 $B$ 點則移至 $E$ 點的位置。求 $\Delta CDE$ 的面積為何？



(A)$\ 5 - 2 \sqrt{2}$

(B)$\ 5 - 3 \sqrt{2}$

(C)$\ 6 - 4 \sqrt{2}$

(D)$\ 7 - 4 \sqrt{2}$

77. 已知 A=11111111…11 為 100 位數，B=222…22 為 50 位數。若 C=A–B，則 C 所有位值的數字總和是多少？ (A) 375 (B) 420 (C) 450 (D) 475

78. 如圖是一個七邊形的網狀圖，將平面分為 A、B、C、D、E、F、G 等七個區域。例如 15 號在 F 區，16 號在 G 區。依照圖中的編號規律，請問：2026 號是在哪一區？

(A)$\ A$ 區
(B)$\ C$ 區
(C)$\ E$ 區
(D)$\ G$ 區

79. 若 $\alpha$ 與 $\beta$ 是方程式 $x^{2} + px + 8 = 0$ 的兩相異實根，且 $|\alpha| > |\beta|$ 。下列哪一個選項的結論一定不成立？

(A)$\ | \alpha | > 2$ 且 $|\beta| > 2$
(B)$\ | \alpha | + |\beta| > 4\sqrt{2}$
(C)$\ | \alpha | > 3$ 且 $|\beta| > 3$
(D)$\ | \alpha | > 2\sqrt{2}$ 且 $|\beta| < 2\sqrt{2}$

80. 「舊式門牌取下來，新型門牌亮起來」市政府新發的門牌採用以下字型製作：

小明家的門牌號碼是四位數 a，爸爸掛門牌時將門牌上下放相反，小明笑著說：「錯將門牌放相反，誤讓號碼多了 4782」。請問：小明家的門牌號碼是幾號？ (A)$\ 1899$ (B)$\ 1884$ (C)$\ 1943$ (D)$\ 9559$

81. 若 $\log_2 3 = a, \log_3 7 = b$，求 $\log_{42} 28$ 之值為何？

(A) \(\frac{2+ab}{1+a+ab}\) (B) \(\frac{2+ab}{1+b+ab}\) (C) \(\frac{a+2b}{1+a+b}\) (D) \(\frac{2+ab}{1+a+b+ab}\)

82. 試求 $\int \tan^2 x \, dx$ 之值為何？ (A)$\ \sec x + C$ (B)$\ \frac{1}{3} \tan^3 x + C$ (C)$\ \tan x - x + C$

(D)$\ \tan x + x + C$

83. 已知 $2 \ln(x - 2y) = \ln x + \ln y$，求 $\frac{x}{y} = ?$ (A)$\ 1$ (B)$\ 2$ (C)$\ 3$ (D)$\ 4$

84. 如圖，玉老師利用 6、15、27 枚火柴棒，依序排列出 1、2、3 層的「蜂窩圖」，如圖 1、圖 2、圖 3 所示。



玉老師若要建構出 100 層的「蜂窩圖」，請問需要多少枝火柴棒？ (A)$\ 15000$ (B)$\ 15300$ (C)$\ 15450$ (D)$\ 30300$

85. 在十進制中，數 $379_{10}$ 代表 $3 \times 10^{2} + 7 \times 10 + 9$。在 $\tau$ 進制中 $(r \in \mathbb{N})$，$1020_{r} - 460_{r} = 230_{r}$，求 $\tau$ 之值為何？ (A)$\ 4$ (B)$\ 5$ (C)$\ 6$ (D)$\ 7$ 

86. 「抽牌卡·加減算」。小明分別從紅色與黑色數字牌(各有數字 1~9)中各抽取 1 張數字牌，紅色牌上的數字為 $a$；黑色牌上的數字為 $b$。求 $3b - a < 10$ 的機率為何？

(A) \(\frac{35}{72}\) (B) \(\frac{39}{72}\) (C) \(\frac{30}{81}\) (D) \(\frac{39}{81}\)

87. 如圖，平面上斜置面積分別為 $1, 2, 3$ 平方單位的正方形以及正楓的四個正方形 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$。請問：四個正方形 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 的面積總和為何？

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

88. 令 $f(n) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^2}{n^3}$，求 $\lim_{n \to \infty} 8f(2n) = ?$

(A) \(\frac{1}{6}\) (B) \(\frac{5}{6}\) (C) \(\frac{5}{3}\) (D) \(\frac{8}{3}\)

89. 設函數 $f(x)$ 滿足 $f(x + 2) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}$，已知 $f(1) = -3$，求 $f(365) = ?$

(A) \(\frac{1}{3}\) (B) \(\frac{1}{2}\) (C) 2 (D) 3

90. 設 $f(x) = x^{2} - 4x + 5$，$x \in [-1,8]$，求 $f(x)$ 的最大值為何？

(A)2(B)18(C)37(D)42

91. 平面上，求 $y = x^{2}$ 及 $x + y = 2$ 所圍成的區域，其面積為多少？

(A) \(4\frac{1}{3}\) (B) \(4\frac{1}{2}\) (C) \(5\frac{1}{3}\) (D) \(5\frac{1}{2}\)

93. 設 $a, a_2, a_3, a_4$ 都是整數且滿足 $\frac{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2}{a_1 + a_2 + a_3 + a_4} = 8$，求上式中 $a_1$ 的最大值為多少？

(A)4(B)8(C)12(D)16

94. 設 $a, b$ 均為整數且 $a > b$，已知 $a + b + 3ab - 62 = 0$，求 $a + b$ 的所有可能值的和為何？

(A)28(B)34(C)40(D)52

95. 設 $a$、$b$ 為直角三角形的兩股長，$c$ 為斜邊長。若實數 $x$、$y$ 滿足 $\frac{x}{2a^2} + \frac{y}{c^2} = 1$ 且 $\frac{x}{c^2} + \frac{y}{2b^2} = 1$，求 $x + y$ 之值為何？

(A) \(2a^2\) (B) \(2c^2\) (C) \(b^2 + c^2\) (D) \(a^2 + c^2\)

96. 設 $0 < x < \pi$，求 $\frac{2 - \cos x}{\sin x}$ 的最小值為多少？

(A) \(\sqrt{2}\) (B) \(\sqrt{3}\) (C) \(2\sqrt{2}\) (D) \(3\sqrt{3}\)

97. 對任意實數 $x$ 均滿足 $f(x + 3) \leq f(x) + 3$ 且 $f(x + 2) \geq f(x) + 2$，若 $f(28) = 36$，求 $f(1000) = ?$

(A) 922 (B) 964 (C) 1008 (D) 1036

98. 由數字 $1, 2, 3$ 所組成的 5 位數，要求此 5 位數中 $1, 2, 3$ 每一個數字至少要出現一次，求滿足這樣條件的 5 位數的個數有多少個？

(A) 150 (B) 162 (C) 168 (D) 174

99. 設正實數 $x, y$ 滿足 $f(xy) = f(x) + f(y)$ 且 $f(2) = 2$，求 $f\left(\frac{1}{32}\right) = ?$

(A) -10 (B) -2 (C) 6 (D) 8

100. 在等腰 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB} = \overline{AC}$，設點 $E$ 為 $\overline{AB}$ 的中點，延長 $\overline{AB}$ 到點 $D$，使得 $\overline{BD} = \overline{AB}$，則 $\overline{CD} = k\overline{CE}$，求 $k = ?$
(A) 2 (B) 3 (C) \(\frac{3}{2}\) (D) \(\frac{4}{3}\)