研究所、轉學考(插大)◆運動科學概論題庫下載題庫

上一題
三、力學之部份 (含基本知識與考題)
 
 
 
基本知識 Basic Knowledge(如果你已熟悉向量運算和微積分,可直接開始答題):
 
 
 
所謂的純量(scalar)是不具方向性的物理量,如:溫度、時間、質量。向量(vector)則是具有方向性的物理量,如:位移、速度、加速度…。
 
 
 
假設一固定於地球的座標系(使用卡氏座標系)的三個方向為 x,ŷ,ẑ。這三個方向彼此互相垂直,且皆為量值 = 1 的單位向量。對於一般量值不為 1 的向量,這裡會加上底線代表是向量。
 
 
 
若已知向量的三個分量(分別為 a1,a2,和 a3),即 a = a1x + a2ŷ + a3ẑ。向量 a 的量值(以 |a| 的符號表示)為,。與之類似,若向量 b = b1x + b2ŷ + b3ẑ,則其量值。 所謂兩向量的內積,是其相對應的分量乘積的總和,為一純量。例如 a 和 b 的內積(符號為 a·b),即為 a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。此內積純量也可以用另一種方式求出,即 |a||b|(cosθ)。這裡的 θ 為兩向量間的夾角。 所謂兩向量 a 和 b 的外積(其結果為向量,符號為 a×b),定義為: 。另一種求外積的方式為分別求出其量值和方向。即 a×b 的量值為 |a×b| = |a||b|(sinθ)。而方向(量值 = 1)為依據右手定則,同時垂直於 a 和 b 的方向。這裡的右手定則,是指當右手的四指先指向 a,再朝 b 的方向卷曲,則此時拇指的方向即為所求的方向。此外,卡氏座標系的三個方向有這樣的特性:
 
 
 
微分基本概念:假設 f 為 x 的函數,即 f = f(x)。通常這些函數 f(x) 和 g(x),可以簡寫成 f 和 g。所謂 df/dx,即 f 對 x 的微分,定義為當 h 趨近 0 時,(f(x + h) - f(x))/h 的值。從定義可證明 dx/dx = nxⁿ⁻¹;dsin(x)/dx = cos(x);dcos(x)/dx = -sin(x);d(lnx)/dx = 1/x;deˣ/dx = eˣ;還有一些常用公式如 product rule: d(fg)/dx = (df/dx)g + f(dg/dx),即把兩函數的乘積微分,等於前者的微分乘以後者,加上後者的微分乘以前者;chain rule: 若 f = f(x) 且 x = x(t),則 df/dt = (df/dx)(dx/dt),即 f 對 x 的微分乘以 x 對 t 的微分。 積分基本概念: ∫f(x)dx = F(x) + C,這裡的 F 為 f 的反導數,即 dF/dx = f,而 C 為常數。例如 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C。若積分符號有上下標,例如從 x = a 積分到 x = b,則積分的結果為 F(b) - F(a) (不需再加上常數 C)。假設 u 和 v 皆為 x 的函數,則 ∫udv = uv - ∫vdu(分部積分)。

【題組】4. 承上,a 和 b 的外積(即為 a × b)在 y 方向的分量等於
(A) -31.
(B) 31.
(C) 11.
(D) -11。


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