統計學題庫下載題庫

Cov(aX-b , cY+d)=E[(aX-b)(cY+d)]-E(aX-b)*E(cY+d)
                                     (相乘的期望值-期望值的相乘)
=E[acXY + adX - bcY - bd] - [aE(X)-b]*[cE(Y)+d]
=[acE(XY) + adE(X) - bcE(Y) - E(bd)] - [acE(X)E(Y) + adE(X) - bcE(Y) - bd]
=ac[E(XY)-E(X)*E(Y)]
=ac*Cov(X , Y)

所以Cov(2X-1 , 3Y+2) = 6Cov(X , Y)
=6[E(XY)-E(X)*E(Y)]

其中E(XY)=Σ_x=0~2Σ_y=0~1x*y*f(x , y) = 0*0*f(0 , 0) + 0*1*f(0 1)+

1*0*f(1 , 0) + 1*1*f(1 , 1) + 2*0*f(2 , 0) + 2*1*f(2 , 1)=2/3

E(Y)

=Σ_y=0~1 y*f(y)(期望值的定義:期望值=Σ隨機變數*邊際機率質量函數)

= Σ_y=0~1 y*[Σ_x=0~2f(x , y)] (把X加光光，就得Y...

Cov(aX-b , cY+d)=E[(aX-b)(cY+d)]-E(aX-b)*E(cY+d)
                                     (相乘的期望值-期望值的相乘)
=E[acXY + adX - bcY - bd] - [aE(X)-b]*[cE(Y)+d]
=[acE(XY) + adE(X) - bcE(Y) - E(bd)] - [acE(X)E(Y) + adE(X) - bcE(Y) - bd]
=ac[E(XY)-E(X)*E(Y)]
=ac*Cov(X , Y)

所以Cov(2X-1 , 3Y+2) = 6Cov(X , Y)
=6[E(XY)-E(X)*E(Y)]

其中E(XY)=Σ_x=0~2Σ_y=0~1x*y*f(x , y) = 0*0*f(0 , 0) + 0*1*f(0 1)+

1*0*f(1 , 0) + 1*1*f(1 , 1) + 2*0*f(2 , 0) + 2*1*f(2 , 1)=2/3

E(Y)

=Σ_y=0~1 y*f(y)(期望值的定義:期望值=Σ隨機變數*邊際機率質量函數)

= Σ_y=0~1 y*[Σ_x=0~2f(x , y)] (把X加光光，就得Y邊際)
=0*Σ_x=0~2f(x , y=0) + 1*Σ_x=0~2f(x , y=1)

0*[f(0 , 0) + f(1 , 0) + f(2 , 0)] + 1*[f(0 , 1) + f(1 , 1) + f(2 , 1)]
=0*(1/3) + 1*(2/3)
=2/3

同理E(X)

=0*[f(0 , 0) + f(0 , 1)] + 1*[f(1 , 0) + f(1 , 1)]+ 2*[f(2 , 0) + f(2 , 1)

=1*(1/3) + 2*(1/3)

=1

所以Cov(2X-1 , 3Y+2)=Cov(X , Y)=(2/3)-1*(2/3)=0