數學題庫下載題庫

根據van Hiele的理論，以學生的幾何思考為例，可以分為五個層次(van Hiele, 1986)。本研究中，將採用van Hiele(1986)的用法及其名詞，分別稱之為層次一：視覺的層次、層次二：描述的層次、層次三：理論的層次、層次四：形式邏輯的層次、以及層次五：邏輯法則本質的層次。玆將這五個層次分述如下：

層次一：視覺的層次

屬於這個層次的兒童藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物的外形輪廓來辨認圖形。譬如：由從前生活經驗中知道長方形是瘦瘦長長的，圓圓的東西屬於圓形，像門的形狀為長方形，像太陽的形狀為圓形，又如◇看起來，不像正方形，兒童認為這不是正方形，此層次兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大。只要在圖形外表特徵差異...

根據van Hiele的理論，以學生的幾何思考為例，可以分為五個層次(van Hiele, 1986)。本研究中，將採用van Hiele(1986)的用法及其名詞，分別稱之為層次一：視覺的層次、層次二：描述的層次、層次三：理論的層次、層次四：形式邏輯的層次、以及層次五：邏輯法則本質的層次。玆將這五個層次分述如下：

層次一：視覺的層次

屬於這個層次的兒童藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物的外形輪廓來辨認圖形。譬如：由從前生活經驗中知道長方形是瘦瘦長長的，圓圓的東西屬於圓形，像門的形狀為長方形，像太陽的形狀為圓形，又如◇看起來，不像正方形，兒童認為這不是正方形，此層次兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大。只要在圖形外表特徵差異稍大時，就不會將長方形看成正方形；或將橢圓形看成圓形。此層次的兒童可以透過實體物操作，例如旋轉或移動，就可以辨別圖形之異同，他們可以使用非數學的術語，知道各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的真實意義。教師應多提供各種機會，讓兒童透過實際的操作，使其視覺感官進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造形等活動，來獲得幾何圖形的正確概念。學生能根據圖形的外表，來識別、操弄圖形（Shape）（例：正方形，三角形），和其它幾何構形要素（Configurations）（例：線，角，網狀格子）。

層次二：描述的層次

這個層次的兒童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成圖形的構成要素（頂點、邊、角）與這些要素之間的關係，分析幾何概念。因此，能夠察覺到圓形沒有邊，正方形有四個邊，而且每邊都相等；三角形有三個邊，可是卻無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何關係，兒童不一定能夠知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩個圖形邊長不相等時，面積可能相等，此層次的兒童尚無法經由推理而知悉其道理何在。學生藉由組成元素的名稱，和組成元素之間的關係來分析圖形。同時，依其經驗建立同一類圖形所具之特性，並且運用圖形之特性來解題。

層次三：理論的層次

這個層次的兒童，不但能夠了解、掌握、運用構成圖形的各種要素，並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性（即構成要素間關係的非形式推理）以及各圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形的兩雙對邊相等；長方形是平行四邊形的一種，當平形四邊形其中一角為90°時，這個四邊形就是長方形。又如，任何三角形的外角，都等於其相對兩內角的和，多邊形的內角和為180°（n-2）。這層次的兒裡開始建構不同類型圖形之間的關係，譬如：正方形、菱形、長方形、平形四邊形。學生使用公式表示和使用定義，整理先前發現的性質，給一非正式的討論，並跟著給一演繹上的討論。

層次四：形式邏輯的層次

這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證明的方法不只一種。換言之，兒童不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備的充分或必要條件。例如：不必透過拿實體物來操作，就能夠證明畢氏定理。譬如：這個層次兒童可以知道菱形也是長方形，又是正方形。學生能用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。

層次五：邏輯法則本質的層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學習者能夠在不同的公設體系中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾何（non-Euclidean Geometry）或比較不同公設系統；同時也能夠了解抽象的幾何概念。在此層次的學生，能學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，並能互相比較不同公設系統。