高中指考◆數學甲題庫下載題庫

<Solution>   (101年 數學甲)

先前分析(Pre-analyze)：

f'(x)表斜率，
若f'(x)<0為負斜率，遞減狀態
若f'(x)>0為正斜率，遞增狀態
若f'(a)=0為，斜率為0，該點(x=a 處)為 極值點 或 反曲點

f"(x)表圖形，f(x)凹口向上，遞增狀態。f"(x)>0反之。
f"(c)=0 、f'''(c)<0 或f"(c)=0 、f''(c+)f"(c-)<0
該(c,f(c))為反曲點

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條件一 ：x<0時 ，f'(x)<0 ; f"(x)>0
=>f'(x)<0 =>為負斜率曲線，且為遞減狀態，
圖形凹口向上。

條件二 ：x>0時 ，f'(x)<0 ; f"(x)<0
=>f'(x)<0 =>仍為負斜率曲線，但圖形卻是凹口向下。
表示：(0,f(0))為反曲點>>該多項式有因式：x³

條件三：x>1時 ，f'(x)<0 ; f"(x)>0
=>f'(1⁺)<0 =>仍為負斜率曲線，但圖形卻是凹口向上。
表示：(1,f(1))亦可能為反曲點>>該多項式有因式：(x-1)³

條件四：x>4時 ，f'(x)>0 ; f"(x)>0
=>但圖形仍是凹口向下，而f'(4-)'f(4+)<0
f(4)為極小值，因此有(x-4)因式

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(1) f'(2)>f'(3)=>False

1<x<4   ； f'(x)<0 ; f"(x)>0 =>f'(2)<f'(3)<0

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(2) x=4 時出現極小值=>True
∵f'(4-)'f(4+)<0 且 f"(x)>0(凹口向上)
故f(4)為極小值

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(3)f(x)圖形只有一個反曲點 =>False

∵ 有兩個反曲點 (0,f(0)) & (1,f(1))

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(4) n 可能為3=>False

有兩個反曲點=>n_min=4 必然 n>3 

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(5)f(x)最高次項係數必為正=>True

∵整體凹向上，f'(x)>0 when x>4

Answers：(2)(5) or (B)(E)