題組內容

三、甲、乙、丙三人在同一靶場長時間練習射擊，經統計後得知三人命中靶心之機率各自為：甲：0.75、乙：0.72、丙：0.7。某次練習時三人同時對同一靶射擊，其中甲射擊 50 發子彈、乙射擊 53 發子彈、丙射擊 60 發子彈。試問於此情境下，

(一)此三人所發射之子彈，射中該靶心之機率為若干？（7 分）

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詳解 提供者：hchungw

要計算甲、乙、丙三人在同一靶場射擊命中靶心的總機率，可以利用期望值的概念。這裡我們需要計算每個人命中靶心的期望值，然後將這些期望值相加。

  1. 甲的射擊情況：

    • 甲射擊 50 發，命中靶心的機率為 0.75。
    • 甲命中靶心的期望值：E甲=50×0.75=37.5E_甲 = 50 \times 0.75 = 37.5E甲​=50×0.75=37.5

  2. 乙的射擊情況：

    • 乙射擊 53 發，命中靶心的機率為 0.72。
    • 乙命中靶心的期望值：E乙=53×0.72=38.16E_乙 = 53 \times 0.72 = 38.16E乙​=53×0.72=38.16

  3. 丙的射擊情況：

    • 丙射擊 60 發，命中靶心的機率為 0.7。
    • 丙命中靶心的期望值：E丙=60×0.7=42E_丙 = 60 \times 0.7 = 42E丙​=60×0.7=42

將三人的期望值相加，得到總的命中靶心的期望值：

E總=E甲+E乙+E丙=37.5+38.16+42=117.66E_總 = E_甲 + E_乙 + E_丙 = 37.5 + 38.16 + 42 = 117.66E總​=E甲​+E乙​+E丙​=37.5+38.16+42=117.66

總共的射擊發數為：

N總=50+53+60=163N_總 = 50 + 53 + 60 = 163N總​=50+53+60=163

最後，我們計算總的命中靶心的機率：

P總=E總N總=117.66163≈0.7219P_總 = \frac{E_總}{N_總} = \frac{117.66}{163} \approx 0.7219P總​=N總​E總​​=163117.66​≈0.7219

因此，甲、乙、丙三人所發射之子彈射中靶心的總機率約為 0.7219。