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研究所、轉學考(插大)-微積分
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107年 - 107 國立臺北大學_日間學士班曁進修學士班轉學生招生考試試題_統計學系日間學士班2、3年級：微積分#147566
> 申論題
(c) \((6\%)\) Find all relative extrema of \(f\)
相關申論題
(d) \((6\%)\) Find all points of inflection of \(f\)
#607938
2. Apply that $$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$ to evaluate the following improper integrals. (a) \((7\%)\) \(\int_0^\infty x^{\frac{1}{2}}e^{-x}dx\)
#607939
(b) \((8\%)\) \(\int_0^\infty x^{\frac{3}{2}}e^{-x}dx\)
#607940
3. Let $$f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$$, $$0 \leq x \leq 1$$ and $$P = \{0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1\}$$ be a partition of $$[0, 1]$$. (a) \((7\%)\) Calculate the upper sum \(U(f,p)\) and the lower sum \(L(f,p)\) of \(f\) over the partition \(P\). Rounded the answers to the third decimal place.
#607941
(b) (6%) Approximate \(\int_0^1\frac{1}{1 + x^2} dx\) by the Simpson's rule with \(n = 4\) and round to the third decimal place.
#607942
(c) (7%) Evaluate \(\lim_{n\to \infty}\left[\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2 + i^2}\right]\).
#607943
4. Let $$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$ (a) \((7\%)\) Find \(f_{t}(0,0)\) and \(f_{y}(0,0)\).
#607944
(b) \((8\%)\) Explain \(f\) is differentiable at \((0,0)\) or not.
#607945
5. Evaluate the following integrals. (a) \((7\%)\) \(\int_0^\infty \frac{\ln x}{x^2} dx\)
#607946
(b) \((8\%)\) \(\iint_{\mathcal{F}}\frac{y}{1 + x^2} dA\) , where \(R\) is the region bounded by \(y = 0\) \(y = \sqrt{x}\) \(x = 4\)
#607947
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