給定一個權重圖（weighted graph），G = (V,E,w)，其中每個邊（edge）e的權重 w(e)都是正整數，為了簡單，假設V = {1,2,..., n}。任意點v與起始點s的距離可以用 一個矩陣d[1..n]來表示。（每小題10分，共 20分） (1)設計一個只需O(n)空間的方法來記錄從s出發，到達每個點的最短路徑。

(1).系統的問題解決後再啟動，請問開始進行復原(Recovery process)的流程時， 那幾筆交易必須 Undo/Redo? (10%) (2).分別說明需要 Undo/Redo 的理由(10%) 配分：20 分，每小題 10 分

有位程式設計師在撰寫程式時遇到了一個難解的問題，後來發現有兩個演算法可以 解這個難題：演算法 A 的時間複雜度為 O(n2 log(n!)) ，演算法 B 的時間複雜度為 O(n2 ((log n)!)) 。假設輸入資料的個數n 通常都很大，他應該選擇那個演算法比較好， 原因何在？（20 分）

樹（tree）是一個很常用的資料結構。一個樹是指一個沒有迴圈（cycle）的聯通圖 （connected graph）。（每小題 10 分，共 20 分） (1)證明：每個具有 n 個節點（node）的樹， n > 1，至少有 2 個分支度（degree）為1 的節點。（分支度就是指有多少邊以此節點為端點。）

(2)用前項結果證明：每個具有n 個節點的樹，n > 1，恰好有n −1個邊（edge）。

(2)說明計算與印出從起始點s到任意點t ∈V 的最短路徑的演算法。（解此小題時可參考 Dijkstra 或其他演算法來設計，且不須將Dijkstra 或別的演算法做詳細的描述。）

有個矩陣A[1..n]，n的值很大。在矩陣A中存有n個正整數，且從小到大排列。給定 某個整數x，二分搜尋法（binary search）可以在O(log n)的時間內找出x在矩陣 A[1..n]的位置，或宣告在A[1..n]中沒有x。在某個應用中，已知絕大部分的x都會出 現在矩陣a[1..n]的前面m個元素，且 m 的值遠小於n，但是無法預知m的範圍。設 計一個演算法，可以在O(log m)的時間內完成搜尋。（20分）

假設有個矩陣A[1..n]儲存n個整數。Quick sort 是一個排序演算法。假設有個副程式 partition(A,l, r)其輸入參數A是一個矩陣，l, r,l < r < n，是兩個指標。其回傳的值m 也是一個指標。這個副程式可將矩陣中從l到r 的這一段資料A[l..r]區分成兩段： A[l..m]和A[m +1..r]，使得在A[l..m]中的元素都小於或等於x，而在A[m +1..r]中的 元素都大於或等於x，其中x是從A[l..r]中隨機選擇的一個整數。接下來要在此兩段 資料遞迴執行partition。避免這些遞迴計算可以用一個堆疊（stack）來處理。假設 partition(A,l, r)回傳m，則執行： if (l < m) push (l,m) into stack if (m +1< r) push (m +1, r) into stack 一開始，堆疊中只有一組資料，(1,n)表示A[1..n]需要排序。如此反覆將堆疊最上面 的資料(l, r)移出，執行partition(A,l, r)，直到堆疊沒有資料為止。 （每小題 10 分，共20 分） (1)證明在最糟情況下，堆疊的高度可以達到n / 2。

(2)設計一個好的演算法以降低stack的高度，並證明堆疊的高度最多只需要 (log n +1)。

一、(1) 在關聯式資料庫(Relational Database)中，其基本結構為關聯(Relation)，關 聯式資料庫如何來表示實體關係(Entity-Relationship; ER)模型中的關係 (Relationship) 及其限制 (Constraints) 包括結合 (Associations) 與參加 (Participation)限制。

(2)某關聯 R = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}的屬性間有以下關係（其中→表 示功能相依;functional dependency）：{A}→{F, J}, {B}→{I}, {A, B}→{C}, {I}→{G, H}, {F}→{D, E}。 a. 試推導(inference)出 R 的主鍵(key)。 b. 請將 R 進行完第二正規化(2NF)，並指出各關聯之主鍵(key)。 c.請將 R 再進行完第三正規化(3NF)，並指出各關聯之主鍵(key)。