申論題

常態分布（中國大陸作正態分布，英語：normal distribution）又名高斯分布（英語：Gaussian distribution）、正規分布，是一個非常常見的連續機率分布。常態分布在統計學上十分重要，經常用在自然和社會科學來代表一個不明的隨機變數。[1][2]

若隨機變數{\\displaystyle X}X服從一個位置母數為{\\displaystyle \\mu }\\mu 、尺度母數為{\\displaystyle \\sigma }\\sigma 的常態分布，記為：

{\\displaystyle X\\sim N(\\mu ,\\sigma ^{2}),}X \\sim N(\\mu,\\sigma^2),[3]
則其機率密度函數為 {\\displaystyle f(x)={\\frac {1}{\\sigma {\\sqrt {2\\pi }}}}\\;e^{-{\\frac {\\left(x-\\mu \\right)^{2}}{2\\sigma ^{2}}}}\\!}{\\displaystyle f(x)={\\frac {1}{\\sigma {\\sqrt {2\\pi }}}}\\;e^{-{\\frac {\\left(x-\\mu \\right)^{2}}{2\\sigma ^{2}}}}\\!}[3]

常態分布的數學期望值或期望值{\\displaystyle \\mu }\\mu 等於位置母數，決定了分布的位置；其變異數{\\displaystyle \\sigma ^{2}}\\sigma^2的開平方或標準差{\\displaystyle \\sigma }\\sigma 等於尺度母數，決定了分布的幅度。

常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線（類似於寺廟裡的大鐘，因此得名）。我們通常所說的標準常態分布是位置母數{\\displaystyle \\mu =0}\\mu =0，尺度母數{\\displaystyle \\sigma ^{2}=1}\\sigma^2 = 1的常態分布[3]（見右圖中紅色曲線）。

資料來源https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83

常態分布（德語：Normalverteilung；英語：normal distribution）又名高斯分布（德語：Gauß-Verteilung；英語：Gaussian distribution, 以德國數學家卡爾·弗裡德里希·高斯的姓冠名），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈，由於這個分布函數具有很多非常漂亮的性質，使得其在諸多涉及統計科學離散科學等領域的許多方面都有著重大的影響力。比如圖像處理中最常用的濾波器類型為Gaussian濾波器（也就是所謂的常態分佈函數）。 若隨機變量 {\\displaystyle X} X服從一個位置參數為 {\\displaystyle \\mu } \\mu 、尺度參數為 {\\displaystyle \\sigma } \\sigma 的機率分佈，記為： {\\displaystyle X\\sim N(\\mu ,\\sigma ^{2}),} X \\sim N(\\mu,\\sigma^2),[1] 則其機率密度函數為 {\\displaystyle f(x)={1 \\over \\sigma {\\sqrt {2\\pi }}}\\,e^{-{(x-\\mu )^{2} \\over 2\\sigma ^{2}}}} f(x) = {1 \\over \\sigma\\sqrt{2\\pi} }\\,e^{- {{(x-\\mu )^2 \\over 2\\sigma^2}}}[1] 常態分布的數學期望值或期望值 {\\displaystyle \\mu } \\mu 等於位置參數，決定了分布的位置；其變異數 {\\displaystyle \\sigma ^{2}} \\sigma^2的開平方或標準差 {\\displaystyle \\sigma } \\sigma 等於尺度參數，決定了分布的幅度。