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3.2. (4%) Suppose we have a thin (and uniform) disk with mass=m and radius=R (i.e., it has area density σ=m/(πR²)). For this disk, dm = σ*r*dr*dθ. The central moment of inertia I₃₃ is defined as ∫r² dm. (Integrate from θ=0 to θ=2π, and r=0 to r=R). Please calculate I₃₃ for the disk.
3. A thin (and uniform) ring with mass=m and radius=R (i.e., it has line density λ=m/(2πR)) is on the plane of ˆn₁, and ˆn₂. As shown in the figure below (suppose ˆn₃ passes through the center of the ring), the mass of a small section is dm=λ*R*dθ. **(圖片)** 3.1. (4%) The central moment of inertia I₃₃ is defined as ∫R² dm. (Integrate from θ=0 to θ=2π). Please calculate I₃₃.
2.3. (3%) Suppose θ = sin(t). Please calculate ^*(d/dt)(r).
8. 假設一顆球可當成是質量 m 之質點。拿著質量可忽略之繩子綁著球繞身體縱軸轉時,假設球與轉 軸距離為 d,則球相對於轉軸之轉動慣量為 (A) md² (B) m²d (C) m+d² (D) md 。
7. 承上,此物體在 x 方向之速度量值(即 dx/dt)為 (A) cos(t²(ln t))(dθ/dt) (B) sin(ln t)(dθ/dt) (C) - sin(eᶿ)(dθ/dt) (D) -cos(eᶿ)(dθ/dt)
6. 物體速度的定義為其位置向量對時間的微分(即速度單位時間內位置之變化率)。若一物體在 x 方向之位 置為角度 θ 之函數,假設 x = sinθ,而 θ 本身為時間之函數,假設 θ = t²(ln t)。此角度 θ 對時間之微分 為 (A) 2t + eᶿ (B) 2t + 1/t 。 (C) tᶿ。(D) 2t(ln t) + t 。
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