試卷測驗 - 111 年 - 111 學年度市立高級中等學校正式教師聯合甄選：數學科#107359-阿摩線上測驗

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試卷測驗 - 111 年 - 111 學年度市立高級中等學校正式教師聯合甄選：數學科#107359

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1(B).

1. 設數列有21項，其中a₁=1, =15，且滿足 =1 ，k＝1,2,…,20。試問共有幾個滿足此條件的不同數列？
(A) 969
(B) 1140
(C) 1330
(D) 1220

2(D,E).

2. 下圖是多項式函數 y=f(x)與 y=g(x) 在區間[−2,2]的圖形，圖中 1＜x₁＜2、−2＜x₂＜−1 、-2＜ x₄ ＜−1 。試問下列哪些敘述是正確的？

(A)在區間[−2,2]中，若方程式f(x)=k有3個相異實根，則−1 ≤ k ≤ 1
(B)f(x) 一定是3次函數
(C) g(x) 的首項係數一定是正數
(D)在區間[−2,2]中，方程式 f (g(x)) = 0恰有6個實根
(E)在區間[−2,2]中，方程式 g(f(x)) = 0恰有4個實根

3(A,B).

X

3. f(x)為連續函數，已知 f (1) =1 ，f (2) = 2 ，f (3) = 3 ，f (4) = 5 ，f (5) = 8 ，f (6) =13 下列何者是 f (7)可能的值？
(A) 0
(B) 1
(C) 13
(D) 21
(E) 34

4(B,C,D).

X

4. 設三個非零向量兩兩不平行，且。試選出正確的選項。
(A)向量和向量所張出的平行四邊形面積，是向量和向量所張出的平行四邊形面積的倍
(B)向量和向量所張出的平行四邊形面積，與向量 (1,2,6) 和向量所張出的平行四邊形面積相同
(C)平面a₁x+b₁y+c₁z= 0和平面a₂x+b₂y+c₂z= 0的交線有一方向向量為(3,4,5)
(D)平面a₁x+b₁y+c₁z= 1和平面a₂x+b₂y+c₂z= 2的交線有一方向向量為(2,5,1)
(E) 恰有一組解(x,y,z) = (2,5,1)

【非選題】
一、填充題

1. 化簡

成一個最簡分數。

【非選題】
2. 每個位數皆為偶數的正整數中，請問2022是第幾小的數？

(例如：2是第1小(最小)、4是第2小、20是第5小。)

【非選題】

3. 下圖的方塊由5×5×5個小立方體組成，依陰影所標示，分別從上、右、前三個面，鑿穿過整個方塊，請問剩下多少個小立方體？

【非選題】
4. 在複數平面上，方程式128x⁷+64x⁶+32x⁵+16x⁴+8x³+4x²+2x+1=0 與64x⁶-16x⁴+4x²-1=0的共同根的乘積為何？

【非選題】

5. 三角形ABC內接於一直徑為的圓，D點在上，且 ∠ABD =90° 。已知，試求長。

【非選題】
6. 將2顆相同的黑球、3顆相同的白球、4顆相同的紅球排成一列，假設每一種排列的結果出現的機會均等。試問：在2顆黑球不相鄰的條件下，3顆白球都不相鄰的機率為何？

【非選題】

7. 已知P點在函數上，Q點在函數上，試求長度的最小值=________。

【非選題】

8. 坐標平面上，圓C：(x−1)²+(y−1)²=1的圓心為C，曲線與圓C交於A、B兩點。試求cos∠ACB的值=_______。

【非選題】
二、計算證明題：

1. 在坐標平面上，圓(x-2)²+(y-2)²=25經過一個二階方陣

的線性變換後，得到中心在(6,18) 且面積為75π 的圖形Λ，試求此二階方陣A。

【非選題】

2. 將一張邊長為100的正方形紙OABC放在xy平面上，O在原點(0,0) 處，A在(100,0) 處，C在(0,100) 處，畫對角線。今將此正方形紙片捲一圈成為一圓柱形，使得與重疊，原對角線在空間中形成一曲線Γ （如下圖所示）。

【題組】(1) 試寫出曲線Γ 投影在yz平面上的方程式 f (y,z) =0 。(5分)

【非選題】
【題組】(2) 試寫出曲線Γ 投影在xy平面上的函數 y =g(x) 。(5分)

【非選題】
3. 空間坐標中， x²+y²+z²+4x-6y+8z≤21被平面 x-2y-2z=3所截的區域在平面 x+y+kz=1的投影面積最大為何？

【非選題】

4. 令函數，試回答下列各小題：

【題組】

(1) 試求的值。（4分）

【非選題】
【題組】

(2) 試求定積分的值。（6分）