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學習重點 常態分配的面積比例：平均數上下各 1 個標準差約占 68%，各 2 個標準差約占 95%，各 3 個標準差約占 99.7%；越靠近平均數，人數越多。 標準分數與百分等級：能把智商（M＝100、SD＝15）、T 分數（M＝50、SD＝10）換算成 z 分數，再推估百分等級與區間人數。 標準差的意義：標準差描述一群分數的分散程度；標準差越小，成績越整齊。比較個人在不同科目的表現要用 z 分數。 測量標準誤與真分數信賴區間：觀察分數 ± 1 個 SEM 約 68%，± 1.96 個 SEM 約 95%，± 2.58 個 SEM 約 99%。 核心觀念 一、常態分配的標準差區間 常態分配以平均數為中心，左右對稱。距離平均數越遠，該區間包含的人數越少。重要區間如下： 區間 大約包含的資料比例 平均數 ± 1 個標準差 約 68%（單側 0～1 個標準差約 34%） 平均數 ± 1.96 個標準差 95% 平均數 ± 2 個標準差 約 95%（1～2 個標準差之間單側約 13.6%） 平均數 ± 2.58 個標準差 99% 平均數 ± 3 個標準差 約 99.7%（2～3 個標準差之間單側約 2.1%） 例如平均數 80 分、標準差 10 分，70～90 分正好是平均數上下各 1 個標準差，約有 68% 的人落在其中；選項若只有 60%、70%、80%、90%，應選最接近的 70%。 二、魏氏智商與各區間的人數比例 魏氏智商以 平均數 100、標準差 15 表示。z 分數的計算方式為： z＝（分數－平均數）÷標準差 智商區間 相對平均數的位置 約占人數比例 70～85 -2 至 -1 個標準差 約 13.6% 85～100 -1 至 0 個標準差 約 34.1% 100～115 0 至 +1 個標準差 約 34.1% 116～130 約 +1 至 +2 個標準差 約 13.6% 131～145 約 +2 至 +3 個標準差 約 2.1% 選項中寬度同樣是一個標準差的區間，緊貼平均數的 100～115 人數最多；離平均數越遠（無論高或低），人數越少。 三、T 分數與百分等級 T 分數以 平均數 50、標準差 10 表示，T＝50＋10z。T 分數越高，相對位置越前面。 當 T 分數為 40 時：z＝（40－50）÷10＝-1，位於平均數下方一個標準差。平均數以下共占 50%，其中 0 至 -1 個標準差約占 34%，故百分等級約為 50－34＝16。 z 分數 T 分數 魏氏智商 百分等級（約） -230702 -1408516 05010050 +16011584 +27013098 四、標準差：比較分散程度與個人相對位置 標準差越小，表示分數越集中、成績越整齊；標準差越大，表示個別差異越大。標準差只說明「整不整齊」，不說明「程度高低」。 不同科目的試題難度與計分尺度不同，不能只憑兩科原始平均數高低，就判斷全班哪一科程度較好。要比較個人在不同科目的相對位置，應使用 z 分數。例如數學 M＝65、SD＝5，英文 M＝80、SD＝7： 數學 70 分：z＝（70－65）÷5＝+1，恰好高於平均數一個標準差。 英文 75 分：z＝（75－80）÷7≈-0.71，低於平均數。 數學 SD＝5 小於英文 SD＝7，表示全班數學成績較整齊。 因此可下的結論是：全班數學成績較英文整齊、該生數學分數高於平均數一個標準差；該生的數學相對表現反而優於英文，而「全班數學程度較差」則無法由原始平均數斷定。 五、測量標準誤與真分數信賴區間 任何測驗都有誤差，觀察分數＝真實分數＋測量誤差。測量標準誤（SEM）就是測量誤差的標準差，用來估計「真實分數可能落在哪個範圍」。區間一律以觀察分數為中心、左右對稱，信賴水準越高，區間越寬。 估計方式 信賴水準 觀察分數 99、SEM＝5 觀察分數 82、SEM＝5 X ± 1 個 SEM 約 68% 94～104 77～87 X ± 1.96 個 SEM（約 2 個） 約 95% 約 89～109（89.2～108.8） 約 72～92（72.2～91.8） X ± 2.58 個 SEM 約 99% 約 86～112（86.1～111.9） 約 69～95（69.1～94.9） 所以智商 99、SEM 5 的正確解讀是「真實智商約有 95% 的機率介於 89 至 109 之間」；94～104 只對應約 68%。數學成就測驗 82 分、SEM 5，真實分數落在 77～87 分的可能性約 68%。 常考陷阱 把 ±1 個 SEM 說成 95% 或 99%。先算區間寬度是幾個 SEM：±1 個約 68%，±2 個（1.96）約 95%，±2.58 個約 99%。99 ± 5＝94～104 只有約 68%，說成 95% 或 99% 都錯。 區間不對稱。真分數區間必須以觀察分數為中心，例如「68% 介於 89 至 104」，下限減 10、上限加 5，不對稱就是錯的。 「約有 5% 的機率不是 99」。SEM 描述的是真分數落在某區間的可能性，不是「剛好等於觀察分數」的機率，此類寫法直接排除。 信賴水準與區間寬度顛倒。信賴水準越高，區間越寬；看到 99% 配上最窄的區間就是錯誤選項。 混淆標準差與測量標準誤。標準差描述一群人分數的分散；測量標準誤描述同一個人分數的測量誤差。 T 分數方向或數字搞混。T＝40 是低於平均一個標準差，百分等級約 16；T＝60 才是約 84。百分等級 50 對應 T＝50，不要把 T 分數數值直接當百分等級。 以原始平均數判斷全班程度。數學平均 65、英文平均 80，不能推論全班數學程度較差；不同科目量尺不可直接比較。 只看原始分數比較個人兩科。數學 70 分低於英文 75 分，但換成 z 分數後數學（+1）優於英文（-0.71）。 把標準差小誤解成程度差。標準差小只代表成績整齊、集中，與平均高低無關。 以為高智商區間或遠離平均的區間人數較多。常態分配中越接近平均數人數越多，100～115 遠多於 116～130、131～145 或 70～85。 記憶口訣 一 SD 六八、二 SD 九五、三 SD 九九七； 一個 SEM 六八，一九六個九五，二五八個九九。 T 分五十為中心、十分一格；退一格十六，進一格八四。 SD 小是整齊，不是程度低；跨科比較看 z。