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學習重點 看出數列的通項與項數，將相鄰奇數的乘積展開成索引的多項式，再利用求和公式計算。 熟記自然數和、平方和與連續正奇數和，分清楚「各項平方後相加」與「相加後再平方」。 處理正整數分列排列時，先找每列的項數，再以累計項數判斷指定列的末項。 遇到漏加一個正奇數的問題，先用平方數與漏項範圍確定項數，再求漏掉的數。 核心觀念 一、三種基本求和公式 以下公式中的 n 都是正整數，表示相加的項數。解題時要先確認通項、起點、終點與項數，不能只看到末項就直接代入。 類型公式辨識重點 自然數和1＋2＋⋯＋n＝n(n＋1)÷2前 n 個正整數相加，結果稱為三角形數。 平方和1²＋2²＋⋯＋n²＝n(n＋1)(2n＋1)÷6每個正整數先平方，再相加。 連續正奇數和1＋3＋⋯＋(2n－1)＝n²從 1 開始，連續相加 n 個正奇數。 平方和與和的平方不同：1²＋2²＋⋯＋n²，不能改寫成 (1＋2＋⋯＋n)²。後者展開後還包含不同項相乘的交叉項。 二、多項式數列：先編號、再展開、後求和 若各項都是相鄰正奇數的乘積，可把第一個奇數寫成 2k－1，下一個奇數寫成 2k＋1。因此第 k 項為： (2k－1)(2k＋1)＝4k²－1。 這是平方差公式的應用。原本看似複雜的乘積，便轉成「平方項減常數」，可以分別求和。 以首項為 1×3、末項為 199×201 的乘積和為例，由 2k－1＝199，得到 k＝100，所以共有 100 項。也可由第一個因數所成的等差數列計算：項數＝(199－1)÷2＋1＝100。 因此總和為： 4×(1²＋2²＋⋯＋100²)－100 ＝4×[100×101×201÷6]－100 ＝4×338350－100 ＝1353400－100 ＝1353300。 其中減去 100，是因為每一項都有一個「－1」，共出現 100 次。一般而言，前 n 項的和為： 4×n(n＋1)(2n＋1)÷6－n＝n(4n²＋6n－1)÷3。 代入 n＝100 驗算：100×(40000＋600－1)÷3＝100×13533＝1353300，與上式一致。 若通項整理成 ak²＋bk＋c，總和就等於「a 倍的平方和＋b 倍的自然數和＋nc」。常數也要依項數累加，不能只保留一次。 選擇題快速檢查：末項 199×201＝39999，100 項中各項由小到大，總和必遠小於 100×39999；再看個位數，每項 4k²－1，可用估算或尾數輔助刪去明顯不合的選項，但最終仍以公式計算為準。 三、三角形數：列末數就是累計項數 將正整數從 1 起依序排列，每個數恰好出現一次時，指定列的最後一個數，等於從第一列到該列的總項數。因此，解題關鍵是先讀出各列有幾個數，而非只觀察表中數字的大小。 若各列依序有 1、2、3、⋯ 個數，前 n 列共有： Tₙ＝1＋2＋⋯＋n＝n(n＋1)÷2。 Tₙ 稱為三角形數。此種排列下，第 n 列的末項為 Tₙ，首項則為 Tₙ₋₁＋1。因此第 100 列末項為 100×101÷2＝5050，首項為 99×100÷2＋1＝4951。 若每列項數構成等差數列，第一列有 a 個數，每往下一列增加 d 個數，則前 n 列共有： n[2a＋(n－1)d]÷2 個數。 作答時先數表中前三、四列各有幾個數，判斷是哪一種排列，再代入對應公式： 各列項數前 n 列累計（第 n 列末項）第 100 列末項 1、2、3、⋯（三角形數）n(n＋1)÷25050 1、3、5、⋯（奇數列）n²10000 2、4、6、⋯（偶數列）n(n＋1)10100 三種排列雖然都是規律增加，列末數卻不同；一定要先由表格確認各列項數，再選公式。可用前幾列的實際末項驗證：例如每列 1、2、3 個數時，前三列末項應為 1、3、6。 四、連續正奇數和：利用平方數找漏項 第 k 個正奇數為 2k－1，所以前 n 個正奇數的和可由等差級數公式得到： n×[1＋(2n－1)]÷2＝n²。 若從 1 開始連續相加，過程中恰好漏掉一個數 m，算出的和為 S，則： S＝n²－m，因此 m＝n²－S。 漏掉的 m 必須是原數列中的正奇數，所以還要符合 1≤m≤2n－1。代入可得： (n－1)²≤S≤n²－1。 這個範圍能確定項數：S 必須介於相鄰平方數之間，且小於完整總和 n²。例如算得的和為 2000，因為 44²＝1936、45²＝2025，可確定原本應加到第 45 個正奇數，漏項為： 2025－2000＝25。 最後檢查：第 45 個正奇數為 89，而 25 是介於 1 與 89 之間的正奇數，符合條件。若改取更大的項數，例如 46²＝2116，差值 116 已超過該數列最大項 91，便不可能只漏一項。 選項驗證法：把選項加回 2000，看是否成為完全平方數。2000＋25＝2025＝45² 成立；2000＋37＝2037、2000＋19＝2019、2000＋11＝2011 都不是平方數，可直接排除。 常考陷阱 把末項當成項數：正奇數列的末項為 2n－1，末項是 199 時共有 100 項；不能把 199 或乘積中的 201 直接當成項數。 等差數列項數漏加 1：項數為「末項減首項，除以公差，再加 1」。只算間隔數，會少算一項。 平方差展開錯誤：(2k－1)(2k＋1)＝4k²－1，不是 4k²＋1，也不會留下正負一次項。 常數只減一次：累加 n 個「4k²－1」，應減 n；寫成「4 倍平方和減 1」會使答案偏大。 平方和公式記錯：是 n(n＋1)(2n＋1)÷6，不是 ÷2 或 ÷3；誤用會讓結果差好幾倍，常對應到錯誤選項。 把列號當作列末數：某列有 n 個數，不代表末項就是 n。從 1 依序填入時，末項要看前面所有列的累計項數。 看到分列排列就套三角形數：先確認各列項數。每列增加一個與每列增加兩個，使用的累計公式不同，第 100 列末項分別可能是 5050、10000 或 10100。 只找接近總和的平方數：漏加正數會使結果變小，完整總和必須大於實際算出的和，所以要取「大於 S 的最小平方數」；也要檢查差值是否為數列內的正奇數。 混淆項數與末項：前 n 個正奇數的和是 n²，最後一項則是 2n－1。求出項數後，若題目要的是末項，還須再換算。 記憶口訣 「乘積先展開，常數算幾回；列末看累計，奇數和成方；漏項平方減，範圍再檢驗。」