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學習重點 將幾何敘述轉成代數關係：先設未知長度，再用邊長、面積及圖形分割條件建立一元二次方程式。 熟練正方形、長方形、梯形及四分之一圓的面積公式，特別注意半徑、底與高各是哪一條線段。 善用平方差與面積消去法：求面積差不必逐一算出所有邊長，比較重疊圖形的區域也不必硬算重疊面積。 解出方程式後，依幾何條件篩選答案；遇到「某數為方程式的根」，優先代入原式整組化簡。 核心觀念 一、幾何應用的基本流程：設長度、列關係、算面積、驗合理 一元二次方程式的幾何應用，關鍵在於把文字轉成正確的式子。未知量若是長度，先設為 x，並記下限制，例如 x＞0；若 x 是正方形內部的切割位置，還要小於原正方形的邊長。再把其餘長度用 x 表示，最後代入面積公式。 圖形面積公式列式重點 正方形邊長的平方面積為 s²，邊長為 s。 長方形長×寬使用兩條相鄰且垂直的邊。 梯形（上底＋下底）×高÷2高是兩底間的垂直距離。 四分之一圓（扇形）πr²÷4r 必須是半徑（圓心到圓周），不能拿直徑代入。 列式後整理成 ax²＋bx＋c＝0，再以因式分解或公式解求根。方程式的根只是候選值，仍須符合原圖形的長度限制。答案也要附上正確單位：長度用公分，面積用平方公分。 二、正方形切割：先看兩個小正方形的位置 邊長為 L 的正方形，沿平行於邊的方向縱、橫各切一刀。設兩個方向的切割距離分別為 u、v，四個矩形的邊長組合為 u 與 v、u 與 L－v、L－u 與 v、L－u 與 L－v。 若其中一格是正方形，其對角位置的另一格也會是正方形；兩者邊長記為 s、t，且s＋t＝L。若兩個相鄰格同時為正方形，則切線都通過中點，四格皆為正方形。題目說「其中有兩個是正方形」且兩者面積和不等於 L²÷2 時，兩個正方形大小不同，不能自行認定相等。 設兩個正方形的面積和為 S，則 s²＋t²＝S。配合（s＋t）²＝s²＋2st＋t²，可得 2st＝L²－S，進一步得到： （s－t）²＝2S－L²。 要求面積相差多少，使用平方差： 面積差＝|s²－t²|＝（s＋t）|s－t|＝L×√（2S－L²）。 例如外框邊長為 10、兩個正方形面積和為 58，則邊長差的平方為 116－100＝16，邊長差為 4，面積差為 10×4＝40。也可設一邊為 x、另一邊為 10－x，列 x²＋（10－x）²＝58，整理得 x²－10x＋21＝0，即（x－3）（x－7）＝0，兩邊長為 7、3，面積差 49－9＝40，結果相同。 檢查合理性：兩個正方形邊長皆為正時，面積和須滿足 L²÷2≤S＜L²。 三、梯形面積：同一未知量同時代表上底與高 若上底與高相等，可將兩者都設為 x；下底比上底多 d，便是 x＋d。若面積為 A，依梯形面積公式列式： ［x＋（x＋d）］×x÷2＝A，整理為 x²＋（d÷2）x－A＝0。 例如 d＝6、A＝28，便有（2x＋6）×x÷2＝28，即 x²＋3x－28＝0，因式分解為（x＋7）（x－4）＝0。代數解為－7 與 4，因為 x 代表高，須取正值 4。驗算：上底 4、下底 10、高 4，面積（4＋10）×4÷2＝28，符合條件。 這類題目的二次項來自「底與高都含有 x」。下底只比上底多出指定長度，高並不跟著增加。 四、複合圖形：兩側面積相等，消去共同重疊區 長方形與扇形重疊時，設長方形獨有的區域為甲、共同重疊區為乙、扇形獨有的區域為丙，則長方形面積＝甲＋乙，扇形面積＝丙＋乙。因此： 甲＝丙 ⇔ 長方形面積＝扇形面積。 這是面積消去法：等式兩邊同加或同減相同面積，不影響相等關係。即使重疊區的邊界含有圓弧，也不必求交點、弓形面積或重疊區面積。 以長方形 ABDE 為例，AB＝8、BD＝x，長方形面積為 8x。四分之一圓的面積為 πr²÷4，先由圖確認圓心與半徑。若扇形的半徑就是邊 AB（r＝8），則扇形面積為 π×8²÷4＝16π，令 8x＝16π，得 x＝2π。若半徑是其他線段，同樣列「長方形面積＝πr²÷4」再解出 x。題目要求以 π 表示時，保留 π，不要代入 3.14。 五、方程式的根：先代入，再把整組式子換成常數 若 t 是方程式 Ax²＋Bx＋C＝0 的根，則At²＋Bt＋C＝0，所以 At²＋Bt＝－C。 例如 a 是 2x²－9x＋8＝0 的解，就有 2a²－9a＋8＝0，即 2a²－9a＝－8；b 是 3x²＋2x－7＝0 的解，就有 3b²＋2b－7＝0，即 3b²＋2b＝7。因此（2a²－9a）×（3b²＋2b）＝（－8）×7＝－56，不必先求出 a、b。 每個方程式各有兩個根，但無論 a、b 取哪一個根，指定的整組式子都化為相同常數，所以不必分別討論。若待求式是原式的倍數（如 4a²－18a），可先提出倍數：4a²－18a＝2（2a²－9a）＝－16。 常考陷阱 把邊長差當成面積差：邊長差為 |s－t|，面積差為 |s²－t²|，兩者相差一個因數 s＋t。誤選「邊長差×某數」或直接用兩面積和相減都會出錯。 把面積和開根號當成邊長和：√（s²＋t²）不等於 s＋t；展開（s＋t）²時不能漏掉 2st。 切割後直接認定四格全等：縱、橫各切一刀不代表切在中點，須依正方形條件判斷邊長關係（兩正方形邊長和等於外框邊長）。 梯形公式漏除以 2：應先加兩底、乘高，再除以 2；漏除 2 會解出錯誤的高。 負根照收：未知量代表長度時須為正，負根要捨去；但一般代數題不能任意排除負根。 看到重疊圖形就先算重疊區：比較兩側獨有區域時，先消去共同部分，整體面積相等即可直接列式。 誤認半徑或提前取近似值：半徑須從圓心連到圓周；題目指定以 π 表示，就保留精確式。 根代入後移項變號錯誤：常數項為＋8，移項後是－8；常數項為－7，移項後是＋7。若正負號弄錯，會誤選 56、－8 或 7 等選項。 記憶口訣 幾何先設長，面積再列方；求根驗限制，答案帶單位。 平方差，和乘差；重疊相同先消去；已知是根，整組代換、常數變號。