阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 先定義未知數，再寫費用式：清楚標示變數代表購買數量、某一類物品的個數，或每一類硬幣各有的枚數。 掌握「單價 × 數量＝金額」：不同品項的金額分別計算後相加；若比較兩個方案，就將兩個總費用式列為相等。 把文字條件轉成數量關係：「合計固定個數」可用總數減去未知數表示另一類；「兩類一樣多」則可讓兩類共用同一個未知數。 分辨未知數與題目所問：解出的可能只是其中一類的數量，還須依問題換算成另一類或總數。 代回檢查合理性：數量須符合非負整數、總數限制與總金額，不能只看計算結果是否出現在選項中。 核心觀念 一、費用代數式的基本結構 一元一次方程式的應用，關鍵在於把題目中的「相等關係」找出來。設數量為 x，單價為 a，則該項金額為 ax。若還有另一項費用，就把各項金額相加；若有固定費用，則另加在數量費用之外。 列式前可先整理三件事：每一個多少錢、各有多少個、總共多少錢。單價的單位是「元／個」，乘上以「個」為單位的數量，結果才是「元」。方程式左右兩邊必須表示相同單位的量。 解題可依固定步驟進行： 設：寫明 x 代表哪一類、什麼東西的數量。 表：用 x 表示其他所有數量（例如另一類為 N－x 或同為 x）。 列：依「各項金額相加＝總金額」或「甲方案＝乙方案」列出方程式。 解：去括號、移項、合併同類項，求出 x。 答：回頭看題目問的是哪一個量，必要時再換算。 驗：把數量代回，檢查個數與金額是否都符合。 二、兩方案費用相同：比較的是總費用 設購買數量為 x，甲方案每件費用為 a 元、固定費用為 b 元，乙方案每件費用為 c 元、固定費用為 d 元，則兩方案的總費用分別為 ax＋b 與 cx＋d。要求兩方案金額相同，就列： ax＋b＝cx＋d。 整理後得到（a－c）x＝d－b；當 a≠c 時，可求得 x＝（d－b）÷（a－c）。計算後仍須檢查：x 是否符合購買數量的限制，以及兩個費用式是否適用於這個數量。 折扣也要先轉成實際付款比例。例如打八折表示付原價的 0.8 倍；若每件原價為 p 元，全部商品都適用八折時，購買 x 件的費用為 0.8px。若方案是總額減去固定金額 k 元，才寫成 px－k。乘折扣與減固定金額是不同運算，不能混用。 若折扣有最低購買量、金額門檻或適用範圍，應先確認條件，再使用費用式。若算出的數量不是整數，而商品只能整件購買，就不能直接四捨五入後宣稱兩方案恰好同價。 三、兩類物品合計固定數量：另一類用「總數減未知數」 若兩類物品合計 N 個，設較高單價的物品有 x 個，則較低單價的物品就是 N－x 個。設低單價為 a 元、高單價為 b 元、總金額為 T 元，可列： bx＋a（N－x）＝T。 去括號並合併同類項後，得到 aN＋（b－a）x＝T，因此 x＝（T－aN）÷（b－a）。其中 aN 是「全部先按低單價計算」的金額；每把一個低價品換成高價品，金額就增加 b－a 元。 這也能用「假設全部都是低價品」的方式理解：先算基準總額，再算實際總額比基準多多少，最後除以每替換一個所增加的價差。差額除以價差，得到的是高價品個數。 以單價 25 元與 45 元、每盒 8 個、售價 320 元的禮盒為例：設 45 元的有 x 個，25 元的有 8－x 個，列 45x＋25（8－x）＝320，得 200＋20x＝320，x＝6。所以 45 元的 6 個、25 元的 2 個。驗算：45×6＋25×2＝270＋50＝320，個數 6＋2＝8，皆符合。這裡的 20 是價差，不是兩種單價的和。 若全部先按高單價計算，也可以用「假設總額減實際總額」除以價差，但此時求得的是低價品個數。以上例而言，全部按 45 元算是 360 元，比實際多 40 元，40÷20＝2，得到的是 25 元月餅的個數，還要用 8－2＝6 才是 45 元的個數。使用假設法時，必須說清楚先假設哪一類。 四、兩類數量相等：共用未知數，總數還要相加 若兩種硬幣的枚數相同，設每一種各有 x 枚。面額分別為 a 元與 b 元時，兩類金額為 ax 與 bx，因此總金額 T 可表示為： ax＋bx＝T，也就是（a＋b）x＝T。 此處 x 代表「每一種各有幾枚」，所以兩類硬幣合計為 x＋x＝2x 枚。也可以把兩種硬幣各取一枚看成一組：每組金額為 a＋b 元，每組有兩枚，先求組數，再乘以 2，便得到總枚數。 例如存錢筒只有 10 元與 50 元硬幣、共 600 元，且兩種枚數一樣多：10x＋50x＝600，60x＝600，x＝10，表示 10 元與 50 元各 10 枚，共 20 枚。驗算：10×10＋50×10＝100＋500＝600。總金額除以 60 所得到的是組數，也是每一類各有的枚數，不能直接當成全部硬幣的枚數。 五、三種情境的列式比較 文字條件未知數的意義列式關鍵解出後注意 兩方案費用相同共同的購買數量 x甲方案總費用＝乙方案總費用確認 x 符合方案適用條件、是否為整數 兩類合計 N 個其中一類有 x 個另一類為 N－x，各項金額相加x 是哪一類？問另一類要用 N－x 兩類個數相同每一類各有 x 個兩類都用 x，（a＋b）x＝T問總數要算 2x 常考陷阱 把「總數固定」看成「兩類一樣多」：合計 N 個，只能寫成 x 與 N－x，不能自行平均分配；必須有數量相等的條件，才能讓兩類都用 x。 高低單價與數量配錯：若 x 定義為高價品個數，高單價就要乘 x，低單價乘 N－x。列式後可逐項讀成「這一類的單價乘這一類的數量」。 答成另一類的個數：混合問題的選項常同時放入兩類的個數（例如高價品 6 個、低價品 2 個都會出現）。作答前再看一次題目問的是哪一種單價的物品。 去括號漏掉負號：a（N－x）＝aN－ax，不能寫成 aN－x。括號外的單價須乘到括號內每一項。 用總金額直接除以某一單價：物品或硬幣有兩種單價時，不能假設全部都屬於同一類。必須把兩類的數量關係一起納入。 把每類數量當成全部數量：兩類各有相同數量時，解出 x 後若問總個數，還要乘以 2。選項中常同時出現 x 與 2x，看到「各有」與「共有」應特別區分。 把面額和當成枚數：10＋50＝60 表示一組硬幣的金額，單位是元；它不表示有 60 枚硬幣。 只驗算金額，忽略數量限制：固定總數的混合問題，還須確認兩類數量相加等於 N；相同枚數問題，則須確認兩類枚數確實相同。實物個數也不能是負數或分數。 記憶口訣 費用相同列等式，單價數量要配對；總數固定用相減，兩類相同共用 x；解出之後看所問，各有、共有別混淆。