阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 辨認兩種未知量：先判斷題目未知的是「兩類物品的數量」還是「兩類物品的單價」，再設定變數與單位。 把兩組條件分別列式：總個數、總腳數、總價或不同購買組合，都能轉成方程式；兩式中的變數意義必須一致。 正確處理算錯與退款：區分原先收取的金額、算錯組合的金額與實際應付金額，先釐清金額關係再運算。 掌握雞兔同籠的共同結構：兩類對象各有已知且固定的單位貢獻，利用「總數」與「加權總量」兩個條件，求出兩類數量。 依目標選擇解法：只問實際應付金額時，可直接由退款求得；若要推算其他購買組合，再求單價或直接加減方程式。 核心觀念 一、先辨認未知的是「數量」還是「單價」 應用題列式的起點，是說清楚變數代表什麼。設完未知數後，應能完整讀成「x 是某類物品的個數」或「x 是某類商品每份的價格」。不同未知量會形成不同的方程式結構，不能只看到兩類物品就套用同一式子。 比較項目求兩類物品的數量求兩類商品的單價 已知資料各類單價、總個數、總價兩組購買份數及其總價 未知數的單位個、隻、份等元／個、元／份等 總價方程式已知單價×未知個數，再相加已知份數×未知單價，再相加 另一條方程式x＋y＝總個數（係數皆為 1）另一種購買組合的總價 答案限制須為非負整數須符合價格情境，不受個數的整數限制 二、雞兔同籠的本質：總數與加權總量 典型雞兔同籠問題中，設雞有 x 隻、兔有 y 隻，總隻數為 N、總腳數為 L，可列出 x＋y＝N、2x＋4y＝L。第一式計算「共有幾隻」，第二式計算「各類隻數乘上每隻腳數後的總和」。 結構相似的關鍵，在數量關係，不在故事背景。判斷一個問題是否與雞兔同籠結構相似，可檢查下列三點是否同時成立： 未知的是兩類對象各有多少個。 每一類對象的單位貢獻已知且固定（如每隻腳數、每個價格）。 已知兩類合計的總數，以及依單位貢獻加權後的總量。 把雞、兔換成肉包、菜包，把每隻腳數換成每個價格，就形成「兩類數量相加等於總個數」與「兩類數量乘上各自單價後相加等於總價」兩個條件，正是雞兔同籠的結構。相對地，若已知的是兩數的和與差、兩數的倍數關係，或未知的是單價而已知兩種購買組合的總價，雖然也有兩個未知數，但條件型態不同，不屬於同一結構。 例如肉包每個 15 元、菜包每個 12 元，共買 8 個、總價 114 元。設肉包 x 個、菜包 y 個，則 x＋y＝8，15x＋12y＝114。用第二式減去第一式的 12 倍，得到 3x＝18，所以肉包 6 個、菜包 2 個。驗算時須同時確認 6＋2＝8，以及 15×6＋12×2＝90＋24＝114。 三、假設全買同一類，就是消去法的具體理解 雞兔同籠類型也能用「先假設全部都是同一類」解題，這是國小高年級不列代數式時的常用策略。上述購買情境若先把 8 個都當成菜包，總價是 12×8＝96 元，與實際總價相差 114－96＝18 元。每把一個菜包換成肉包，個數不變，價錢增加 15－12＝3 元，因此需換成 18÷3＝6 個肉包，菜包為 8－6＝2 個。 一般而言，若較高單價為 a、較低單價為 b，總個數為 N、總價為 T，且 a＞b，則高價物品個數＝（T－bN）÷（a－b），低價物品個數再由總個數扣除。分母是每替換一個所增加的金額，分子是實際總價比「全部買低價物品」多出的金額。這個算法與「第二式減去第一式的 b 倍」完全對應。 四、退款情境：先還原實際應付金額 「已付金額」不一定就是正確總價。若店家承認多收並退款，則實際應付金額＝原先已付金額－退款金額。原先付 330 元、店家退還 30 元，實際應付就是 330－30＝300 元。若問題只求這個金額，到此即可作答，無須先求每份商品的價格。 若要進一步列聯立方程式，可設地瓜條每份 x 元、鹹酥雞每份 y 元。實際購買 4 份地瓜條與 2 份鹹酥雞，應列 4x＋2y＝300；店家錯算為 2 份地瓜條與 4 份鹹酥雞，且收了 330 元，因此另一式是 2x＋4y＝330。330 元對應錯算組合，300 元才對應實際購買組合。 五、解出兩個未知量，再求其他組合 上述兩式分別除以 2，得到 2x＋y＝150、x＋2y＝165。將第一式乘以 2，再減去第二式，可得 3x＝135，因此 x＝45；代回可得 y＝60。地瓜條每份 45 元、鹹酥雞每份 60 元。驗算：4×45＋2×60＝300，2×45＋4×60＝330，兩式皆成立。 若另外詢問 m 份地瓜條與 n 份鹹酥雞的總價，代入後即為 45m＋60n 元。這就是「兩組條件確定單價，再代入新組合」的基本流程。 也可依所求量直接組合方程式。例如將原來兩式相加，得到 6x＋6y＝630，因此各買一份的總價 x＋y＝105 元。兩式相減則得 2y－2x＝30，所以 y－x＝15 元。遇到只問單價和、單價差或特定組合時，可先觀察是否能直接加減求得。 常考陷阱 把「兩類物品」當成結構相似的充分理由：判斷雞兔同籠型問題，要看是否具有總數與加權總量兩個條件，以及每類固定的單位貢獻，不能只看題目出現兩種物品或兩個未知數。 未知數設為單價，卻列 x＋y＝總份數：單價相加的單位是價格，不能等於份數。列式後檢查左右兩邊單位是否一致。 直接把已付的 330 元當成實際應付金額：遇到退款，應先扣除退款金額；若寫成 330＋30，便把多收與少收的方向弄反。 兩個購買組合與金額配錯：每式都要逐項核對「哪種商品買幾份、該組合值多少錢」，不能只交換係數卻保留錯誤的總價。 把退款 30 元當成兩商品的單價差：份數交換後，相當於少算 2 份地瓜條、多算 2 份鹹酥雞，故 30 元是單價差的 2 倍，單價差應為 15 元。 假設法只算總價差，沒有除以單價差：總價差表示多出的金額，還須除以每替換一個增加的金額，才是替換個數。 只驗算總數，未驗算總價：兩個未知數的解必須同時符合兩組條件；數量題還須檢查是否為符合情境的非負整數。 題目只問應付多少，卻花時間求完所有單價：先讀所求目標；可直接由已付金額與退款求得時，清楚列出減法即可。 記憶口訣 「先定未知與單位，兩組條件各列式；退款先扣再配對，求完代回驗兩式。」 「全當低價算基準，多出金額除價差。」適用於總個數、總價與兩類單價已知的雞兔同籠型問題。