阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 辨認單位量：先確認分數是「誰的幾分之幾」，例如原數、油箱容量、整瓶藥水或量杯容量，才能列出正確算式。 掌握反求關係：部分量＝總量×對應分數，所以總量＝部分量÷對應分數。 用分數差反求容量：同一油箱加油前後裝滿比例的差，對應實際加入的公升數。 分清已用與剩餘：剩餘比例為 r 時，已用比例是 1－r；已用量要依實際用量計算。 運用反比換算次數：總量固定時，每次用量越多，可用次數越少；改變用量後，要用總量重新計算。 核心觀念 一、先找出分數所依附的總量 「甲的某個分數倍」以甲為單位量；「油箱幾分滿」以該油箱的容量為單位量；「還剩幾分之幾瓶」以原來整瓶的量為單位量；「量杯容量的幾分之幾」則以量杯容量為單位量。分數相同，不代表實際數量相同；必須連同單位量一起判斷。 題目中的分數常以圖片呈現，作答時要先讀清楚分子、分母，再代入下列關係式。 二、由已知分數倍反求原數，再求另一分數倍 設原數為 x，已知它的 a 倍是 b，則 x×a＝b，所以x＝b÷a。若要求原數的 c 倍，再計算 x×c。合併後就是： 所求量＝已知量÷已知分數×所求分數＝已知量×（所求分數÷已知分數）。 例如某數的 3/4 是 36，要求這個數的 5/6。可先算原數：36÷3/4＝36×4/3＝48，再算 48×5/6＝40；也可以直接算 36×（5/6÷3/4）＝36×10/9＝40。 注意以下三點： 分數除法要改成乘以除數的倒數，例如 36÷3/4＝36×4/3。連乘時可以先約分。 「分數倍」可以大於 1，例如假分數或帶分數。所求分數大於 1 時，答案會比原數大。 算完要檢查大小：所求分數大於已知分數，所求量就應大於已知量；反之則較小。 選項常同時列出「原數」與「所求的分數倍」，要確認自己最後算的是題目問的量。 三、由分數變化量反求油箱容量 設油箱容量為 C，原有 a 滿，加入 v 公升後變成 b 滿。原有油量是 aC，加入後是 bC，因此： （b－a）×C＝v，容量 C＝v÷（b－a）。 例如原有 1/3 滿，加入 10 公升後變成 1/2 滿。增加的分數是 1/2－1/3＝1/6，容量為 10÷1/6＝60 公升。 對應 v 公升的是「增加的分數」，不是加入後的分數。若用 v÷b 計算，等於把加入的油量誤當成加入後的全部油量。 比較兩個油箱時，要分別計算「加入後比例－原有比例」： 加入量相同，增加的分數也相同，兩油箱容量就相同，容量差為 0 公升。 加入量相同，增加的分數較小，表示該油箱容量較大。 容量差要先求出兩箱各自的容量再相減，不能把兩箱的比例直接相減當成公升差。 兩箱原有幾分滿不同，不代表容量不同。能決定容量的是「增加量」與「增加的分數」。 四、由實際已用量與剩餘比例反求總量 設原有總量為 T，每次實際使用 u，已使用 n 次，剩餘比例為 r。已用量是 nu，對應的已用比例是 1－r，因此： T＝nu÷（1－r）；剩餘量＝T×r＝T－nu。 關鍵是把「已用量」配給「已用比例」，不能把已用量直接除以剩餘比例。 以藥水情境為例，前六次實際各服用 7 c.c.，已服用量就是 6×7＝42 c.c.。即使醫囑是每次 6 c.c.，也不能用 6×6 計算已經喝掉的量。改正之後的次數，才依每次 6 c.c. 計算。 判斷剩餘藥水夠不夠再服三次，需求量是 3×6＝18 c.c.，接著與剩餘量比較： 剩餘量大於 18，就足夠，差額是服用後剩下的量。 剩餘量小於 18，就不足，差額是最後一次短缺的量。 剩餘量等於 18，剛好用完。 例如剩下 1/3 瓶時，42 c.c. 對應 1－1/3＝2/3 瓶，整瓶為 42÷2/3＝63 c.c.，剩餘 63－42＝21 c.c.。21 大於 18，所以足夠，再服三次後還剩 3 c.c.。 五、用量看錯時，如何反求正確使用次數 設量杯容量為 L，正確每次用量為 pL，誤用的每次用量為 qL；誤用 n 次後剩下原量的 r。已用量為 nqL，整瓶總量為 nqL÷（1－r）。若一開始就正確使用，整瓶可用次數 N 為： N＝［nqL÷（1－r）］÷pL＝n×（q÷p）÷（1－r）。 量杯容量 L 在計算中會約掉，所以不知道量杯有多少毫升，也能求出次數。這也說明量杯容量與整瓶總量是不同的單位量，不能把量杯的分數直接當成整瓶的分數。 另一種想法分兩步： 先用 n÷（1－r）求出整瓶依「錯誤用量」可以用幾次。 再乘以「錯誤用量÷正確用量」，換成正確用量下的次數。 例如正確用量為量杯的 1/2，誤用 3/4，用了 8 次後剩下原來的 1/4。第一步，8 次對應 3/4 瓶，整瓶以錯誤用量可用 8÷3/4＝32/3 次。第二步，32/3×（3/4÷1/2）＝16，所以正確使用可用 16 次。 比較條件數量關係判斷方法 每次用量固定總用量與次數成正比總用量＝每次用量×次數 可用總量固定每次用量與次數成反比每次用量×可用次數＝固定總量 誤用後仍有剩餘已用次數只對應已用部分先除以已用比例求整瓶，再換算用量 常考陷阱 看到分數就乘：已知的是原數的分數倍，反求原數要用除法；求原數的另一分數倍時，才乘上所求分數。 把原數當答案：題目問的是原數的另一分數倍，選項卻常放入原數本身。算出原數後別忘了最後一步。 倒數取錯對象：除以分數時，只把除數取倒數，例如 b÷a＝b×（a 的倒數），被除數 b 不變。 用加入後的比例反求容量：新增油量對應的是前後比例之差。列式前先問：「這些公升數讓裝滿比例增加了多少？」 以為原有比例不同，容量就不同：只要加入量相同、增加的分數相同，容量就相同，容量差為 0。 把剩餘比例當成已用比例：已知已用量時，反求整瓶要除以「1－剩餘比例」。配錯的話，總量和剩餘量都會跟著錯。 用規定量計算過去的消耗：已發生的消耗依實際用量，改正後的消耗依正確用量，兩段要分開計算。 夠或不夠的差額方向搞反：剩餘量減需求量，正數是「還剩」，負數是「短少」。要同時核對「夠或不夠」與差額數值。 只換算用量，忘了補回未用完的部分：誤用的次數只代表已用部分。若只算 n×（q÷p），會漏掉剩下那部分可用的次數。題目問的是「整瓶」從頭正確使用的次數，必須先除以已用比例。 反比方向顛倒：正確用量比誤用量少，整瓶可用次數就比較多；正確用量比誤用量多，可用次數就比較少。可用這點排除不合理的選項。 答錯所問的量：總量、剩餘量、容量差、整瓶可用次數與剩餘可用次數各不相同，最後要確認答案的對象與單位。 記憶口訣 部分除以對應率，總量反求不費力；前後分數先求差，新增除差得容量。 剩下先用一來扣，已用才能配已用；總量若是固定了，用量次數反著走。