阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 分數除法的核心規則是「除以一個數，等於乘以它的倒數」。先把除法改成乘法，後續的化簡、比較與合併才好處理。 分配律只能用在「被除數是和（差）」的情況，也就是 (a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c。除數是和時不能拆開。 判斷兩個算式是否等值，最穩的做法是：除法全部改成乘倒數，再用分配律提出共同因數，最後比較化簡後的結果。 要讓分數值最小，就要讓分子最小、分母最大。在「相異數字」的限制下，要逐一分配數字，並檢查有沒有重複使用。 遇到很長而且重複出現的分數連加式，用整體代換法：把重複的部分設成一個代號（例如 A），展開後消去相同的項，就能快速得到答案。 核心觀念 一、分數除法：除以分數＝乘以倒數 對任意非零的數 b、c，有 a ÷ (b/c) ＝ a × (c/b)。也就是把除號改成乘號，並把除數的分子、分母對調。 整數也可以看成分母為 1 的分數，例如 ÷5 ＝ ×1/5。 連續除法要由左到右計算：a ÷ b ÷ c ＝ a × (1/b) × (1/c) ＝ a/(b×c)。 有括號時先處理括號：a ÷ (b ÷ c) ＝ a ÷ (b/c) ＝ (a×c)/b。由此可見 a÷b÷c 與 a÷(b÷c) 不相等。 分數除以分數：(a/b) ÷ (c/d) ＝ (a/b) × (d/c) ＝ (a×d)/(b×c)。 二、分配律在分數除法中的運用 除法改成「乘以倒數」以後，就可以使用乘法分配律。 寫法是否成立說明 (a＋b) ÷ c ＝ a÷c ＋ b÷c成立等同 (a＋b)×(1/c)，屬於乘法分配律 a÷c ＋ b÷c ＝ (a＋b)÷c成立上一列反過來寫，就是提出共同的「÷c」 a÷(b/c) ＋ d÷(b/c) ＝ (a＋d)×(c/b)成立兩項都是乘以 c/b，可以提出共同因數 a ÷ (b＋c) ＝ a÷b ＋ a÷c不成立除數是和，不能拆。反例：12÷(2＋4)＝2，但 12÷2＋12÷4＝9 a×c ＋ b÷c ＝ (a＋b)×c不成立一項是乘 c，一項是乘 1/c，兩者不是共同因數 判斷等值的步驟： 把原算式和每個選項中的「÷分數」都改寫成「×倒數」。 找出各項共同的乘數，用分配律提出來，例如 □×k＋○×k＝(□＋○)×k。 比較化簡後的形式或數值。形式不同時，直接算出數值來比較最可靠。 注意減號：□×k－○×k＝(□－○)×k，不能誤寫成加法。 三、分數除法化簡與最小值判斷（相異數字） 這類題目會給一個含 x、y、z 的分數除法算式，要求 x、y、z 從指定的數字（例如 1～8）中選出三個相異數字，使算式的值最小。 化簡：用倒數把整個算式化成單一分數「（某些字母的乘積）／（另一些字母的乘積）」。 分類：找出哪些字母在分子、哪些在分母。 分配數字：分子放最小的數，分母放最大的數。同一個數字不能重複使用。 檢查：分子有兩個字母時，兩數的乘積要最小，例如 1 和 2。分母有兩個字母時，乘積要最大，例如 7 和 8。如果某個字母單獨決定大小，就優先把最極端的數給它。 回答題目問的量：題目可能問 y＋z、x＋y＋z 或乘積。算出各字母的值後再代入，不要直接把最小值當答案。 示範（非原題）：求 (x/y) ÷ z 的最小值。先化簡：(x/y)×(1/z)＝x/(y×z)。x 在分子，取最小的 1；y、z 在分母，取最大的 8 和 7，此時最小值為 1/56。若題目問「x＋y＋z」，答案就是 1＋8＋7＝16。 關鍵提醒：一定要先化簡，確認字母到底在分子還是分母。字母在原式中的位置，常常和化簡後的位置不同，例如「÷(y/z)」化簡後，z 會跑到分子。 四、整體代換法：分數連加的乘積運算 題目常出現下面這種形式：兩組很長的分數連加式相乘，再減去另兩組相乘，而且各組只差頭尾一、兩項。直接通分計算幾乎不可能，正確做法是把共同重複的部分設成一個代號。 通用模型：設共同部分為 A，可推得 (a＋A)(A＋b) － (a＋A＋b)·A ＝ (aA＋ab＋A²＋Ab) － (aA＋A²＋Ab) ＝ ab A² 和含 A 的項全部消去，只剩下「多出來的頭項 × 多出來的尾項」。 常見實例：設 A＝1/2＋1/3＋…＋1/n，則 (1＋1/2＋…＋1/n)(1/2＋…＋1/n＋1/(n＋1)) － (1＋1/2＋…＋1/(n＋1))(1/2＋…＋1/n) ＝ (1＋A)(A＋1/(n＋1)) － (1＋A＋1/(n＋1))·A ＝ 1×1/(n＋1) ＝ 1/(n＋1) 操作步驟： 比較四組括號，找出每一組都出現的最長共同段，設為 A。 把每組括號改寫成「A＋多出的項」。 用分配律展開，消去 A² 與 A 的同類項。 剩下的常數就是答案。最後檢查正負號：減式的前後順序對調時，答案會變成相反數。 常考陷阱 除數拆開：錯選含有「a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c」的選項。只有被除數是和的時候才能拆。 倒數取錯：只把分子或分母倒過來，或把被除數也一起倒過來。只有除數要取倒數。 運算順序：把 a÷b÷c 當成 a÷(b÷c) 計算。沒有括號時要由左到右算。 共同因數不一致：一項乘以 k、另一項除以 k 時，不能合併提出，要先把兩項都化成「×同一個數」。 最小值題沒化簡就分配數字：照原式表面位置判斷分子、分母，導致數字放反。 忽略「相異」條件：分子、分母都想用同一個數字，例如都用 1 或都用 8。 答非所問：題目問 y＋z，卻選了 x＋y＋z、最大的兩數之和，或兩數並列成的數字。選項中常放「最大兩數和」與「把兩個數字寫在一起」這類誘答。 連加乘積題選 0：以為兩個乘積「看起來差不多」就互相抵消。實際上展開後還會剩下「多出頭項×多出尾項」，不是 0。 正負號：代換展開時漏掉減號分配，或把前後兩個乘積的順序看反。 記憶口訣 「除變乘，後顛倒」：除號變乘號，除數上下顛倒。 「被除可拆，除數不拆」：(a＋b)÷c 可以拆開，a÷(b＋c) 不能拆。 「上小下大，數字不重複」：求最小值時，分子放最小、分母放最大，相異數字不能重複使用。 「重複設 A，展開相消，剩下頭乘尾」：整體代換後，答案是多出的頭項乘以多出的尾項。