加減互逆與未知量列式

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建立於 2026年11月10日

學習重點 先辨識「原有量、改變量、結果量」或「較大量、較小量、差量」，再決定未知量的位置。 理解加減互逆：知道兩個部分的和，就能用減法找出其中一個部分；知道減去後的結果，也能用加法還原原數。 區分「依題意記錄數量關係」與「為求答案而改寫的算式」；答案相同，不代表都同樣貼合題目敘述。 判斷教學布題是否能引導學童連結加法與減法，不能只看題目中有沒有「增加」或「減少」。 判斷學童的橫式紀錄與口語說明是否合理時，要同時核對算式中各數的角色與說明的意思。 核心觀念 一、先找數量角色，再找未知量 加減法文字題的關鍵不是抓關鍵字，而是確認每個數代表什麼，以及哪一個量不知道。同樣是「花掉一些錢」，可能問剩多少、原有多少，或花了多少；情境相似，未知量位置卻不同。 情境結構基本數量關係未知量位置與求法 增加原有量＋增加量＝結果量原有量未知：□＋增加量＝結果量，以結果量－增加量求解。 減少原有量－減少量＝結果量原有量未知：□－減少量＝結果量，以結果量＋減少量求解。 比較或補足較小量＋差量＝較大量差量未知：較小量＋□＝較大量，以較大量－較小量求解；較小量未知：□＋差量＝較大量，或較大量－□＝差量。 例如，某人原有一些錢，支出 180 元後剩下 260 元。若以 □ 表示原有金額，依事件經過記錄為□－180＝260；求原有金額時，則計算 260＋180＝440。前者記錄數量關係，後者運用互逆關係求解。 二、加減互逆：減去後可以加回，加上後可以減回 若 a＋b＝c，就有 c－a＝b、c－b＝a。加法把兩個部分合成全體，減法則由全體與其中一個部分找出另一個部分，這就是加減互逆。 套用到減法 a－b＝c，可理解為「原有 a，拿走 b，剩下 c」，因此 c＋b＝a。當被減數未知時，便把拿走的量與剩餘量合起來，還原原有量。 未知數位置求法理解方式 □－b＝c□＝c＋b被減數＝差＋減數；把減去的量加回來。 a－□＝c□＝a－c減數＝被減數－差；原有量扣掉剩餘量，就是拿走的量。 a－b＝□直接計算 a－b已知原有量與減少量，求結果量。 □＋b＝c□＝c－b全體扣掉已知部分，得到另一部分。 求解後可將答案代回原式檢查。以 □－180＝260 為例，代入 440，確認 440－180＝260，才能確定未知量符合原來的數量關係。 三、互逆與其他運算性質的判別 判斷學童用了哪個性質，要看解題中最關鍵的轉換。學童先列出「□－支出＝剩下」，再說「因為剩下＋支出＝某數，所以 □ 是某數」，是從「未知數減去一個數等於另一個數」轉為「把這兩個已知數相加求未知數」，重點是加法與減法之間的互逆。 運算性質判斷關鍵 加減互逆用加法還原減法中的原數，或用減法找出加法中的未知部分。 加法交換律a＋b＝b＋a，只交換兩個加數的位置。 加法結合律三個數相加時改變先結合哪兩個，如（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 分配律乘法對加法或減法的分配，如 a×（b＋c）＝a×b＋a×c。 即使求解時可交換兩個加數的位置，也不能因此把整個解法的核心判成交換律；必須看學童為什麼能由減法關係改用加法求解。題目中沒有乘法，也不會是分配律；只有兩個數相加，談不上結合律。 四、依題意列式與求解算式要分清楚 若情境是「本來有一些，後來得到若干，現在共有若干」，以 □ 表示原有量，最直接的記錄是□＋增加量＝現在量。未知數應放在「本來有多少」的位置，增加量則對應後來得到的數量，依「本來 → 得到 → 現在」的順序寫出。 例如，原有一些貼紙，得到 8 張後共有 19 張，依敘述順序可列為 □＋8＝19；求解時可改用 19－8＝□。兩式能求出同一個量，但前者呈現事件經過，後者呈現求解方法。題目若問「哪一個算式填充題是用來記錄情境」，要選呈現事件經過的式子，而不是直接算答案的式子。 8＋□＝19 雖可由交換律得到，但若題目強調依原有量、增加量的順序記錄情境，應優先選 □＋8＝19。19－□＝8 也與原關係相容，卻把「現在量扣除原有量等於增加量」作為記錄方式，並非最直接依事件順序列出的算式。 因此，作答時要分辨題目是在問「哪個式子能求解」、「哪個式子符合數量關係」，還是「哪個式子最直接記錄題意」，不能把這些要求混為一談。 五、「不夠」的情境可用加法與減法共同表示 購物時，若現有金額不足以支付價錢，三個量的關係是現有金額＋不足金額＝物品價錢，也就是物品價錢－現有金額＝不足金額。 例如，物品售價 62 元，購買者還差 17 元，以 □ 表示現有金額，則 62－□＝17 與 □＋17＝62 都合理。前者表達「不夠的錢就是價錢比現有金額多出的部分」，後者表達「現有金額加上不夠的錢就是物品價錢」。 判斷「算式與說明是否都合理」時，要核對未知量所指為何、每個數的角色，以及口語說明是否與算式一致。減法式與加法式可以同時正確，不必只選一種運算；只要說明中「誰比誰多」、「誰加上誰等於誰」與算式相符，兩種紀錄都成立。 六、理解互逆的布題，要能引出運算間的連結 適合引導加減互逆的題目，常把未知量放在起始量或改變量的位置，使學童先依情境列式，再思考如何以另一種運算求解。例如： 增加後求原有量：由 □＋a＝b 轉為 b－a（如「原有一些，又放進若干，現在共有若干，原來有幾個」）。 減少後求原有量：由 □－a＝b 轉為 b＋a（如「買了若干元的東西後剩下若干元，原來有多少元」）。 問還差多少：由 a＋□＝b 轉為 b－a（如「現有若干元，想買較貴的東西，還要存多少元」）。 相較之下，「原有若干，拿走若干，問剩多少」直接計算減法即可，順著情境就能得到答案，較不容易自然引出加減兩種運算的連結。因此，在比較布題適切性時，這類「結果量未知」的題目最不適合當作凸顯互逆意義的布題；但教師仍可透過加法驗算，引導學童理解互逆。 常考陷阱 看到「花掉」就直接減兩個已知數：應先看問的是原有量還是剩餘量。原有量未知時，要把花掉的量與剩下的量加起來。 看到求解中有兩數相加，就選加法交換律或結合律：若關鍵是從減法關係轉為加法還原，應判為加減互逆；交換律只處理加數位置交換，結合律需要三個數，分配律需要乘法。 認為有減法情境就最適合教互逆：直接求剩餘量只用到減法。反而「原有量未知」或「還要存多少」的題目，才需要在加減之間轉換。 把可求出答案的式子，一律當成最直接的題意記錄：如「結果量－增加量＝( )」是求解算式，不是記錄情境；依情境列式時，須讓 ( ) 放在本來的量，並依原有量、改變量、結果量的順序寫出。 認為「不夠」只能列減法：不足金額既是兩量之差，也是補足所需的量，因此可以用減法比較，也可以用加法補足，兩種紀錄都可能合理。 只看算式，不看文字說明：算式正確還不夠，說明中的「誰比誰多」、「加上什麼等於什麼」也必須對應正確。 記憶口訣 先認量，再列式；求未知，用互逆。原有減去剩多少，剩下加回找原有。現有加上不足量，剛好等於物品價。列式照題意，求解看關係。